公共弦

當兩個圓相交時，兩個交點的連線叫公共弦。

兩個圓若是相交，則至多交於2點。而將兩圓的方程相減即是默認兩條方程中有共同的解X、Y。而減后的方程必定滿足X、Y（就是兩個交點），換句話說，就是兩個交點所共同滿足的直線方程。而我們知道，平面內2點間有且只有1條直線，那麼這條直線就是所求的公共弦。

若圓C1：(x-a1)^2+(y-b1)^2=r1^2或x2+y2+D1x+E1y+F1=0

圓C2：(x-a2)^2+(y-b2)^2=r2^2或x2+y2+D2x+E2y+F2=0

則過兩圓交點的直線方程為：(x-a1)^2+(y-b1)^2－(x-a2)^2－(y-b2)^2=r1^2－r2^2 或 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0

這是“兩相交圓方程相減得公共弦方程”的變式

設兩圓分別為

x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0 ①

x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0 ②

兩式相減得

（x^2+y^2+c1x+d1y+e1）-（x^2+y^2+c2x+d2y+e2）=0 ③

這是一條直線的方程

（1）先證這條直線過兩圓交點

設交點為(x0,y0)則滿足①②

所以滿足③

所以交點在直線③上

（2）由於過兩交點的直線又且只有一條

所以得證