無限群

20世紀30年代以來，無限群研究有了迅速的發展。與研究其他的代數系統一樣，無限群論的最終目的是刻畫所有的群。基於有限群論積累的許多成果，無限群論開始研究的都是那些接近有限群的群類，以及在有限群論中研究過的那些類型，諸如交換群、冪零群、可解群等。所研究的問題大致有兩類，一類是把關於有限群的結果推廣到儘可能廣泛的無限群上去；一類是無限群所特有的一些問題，例如關於自由群、群的本原類、伯恩賽德問題等。

關於無限交換群已在交換群中述及，因此以下提到的無限群均指非交換群。

劃分出一些群類是研究群的首要問題，常用的劃分群類的方法有下列幾種。①鏈條件，是指對子群適合極大(小)條件，即該群中任意非空子群集都有極大(小)者。②局部系概念，如果群G的某個子群集L滿足條件a.L中子群的並集等於整個群G;b.L中任意兩個子群含於L中的某個子群內，那麼L稱為局部系。如果G中存在一個由具有性質p的子群組成的局部系，就說群G局部地有性質p或局部p群。於是就有局部有限群、局部冪零(可解)群類。③正規系（不變系）的概念，是熟知的正規列、不變列的推廣。可用它們來定義所謂RN 群、RI 群等。④要求對某些構成方法，諸如“取子群”、“取商群”、“取直積”、“取擴張”等是封閉的，也可劃分出一些群類。最重要的本原類就是關於“取子群”、“取商群”、“取直積”封閉的群類。

作為把一類無限群化歸為對有限群的研究的例子，是切爾尼科夫定理：一個群是對子群有極小條件的可解群，當且僅當它是對子群有極小條件的可除交換群藉助有限可解群的擴張。作為推廣有限群論的定理的例子，是R.貝爾的結果：局部正規群(指它的任意有限子集含於它的某個有限正規子群中)的兩個西洛p子群是局部共軛的。

無限群論中所特有的局部定理，回答了一個群局部地具有性質p是否它本身也具有性質p的問題。例如對於RN群有局部定理：局部RN群(局部RI 群)是RN群(RI 群)。Α.И.馬爾采夫給出了一個證明局部定理的統一方法，即後來稱作馬爾采夫-塔爾斯基完備定理中所指出的方法。

群的構成方法是群論的重要課題之一。尤其是有限群的擴張問題，研究用生成元和定義關係給出的群，以及群的直積、群的自由積和自由群等。以自由群為例，任取集合，另作一符號集，令,考慮M字，即由M中元素組成的形式有限序列：

。 (1)

為方便起見，引入空字即不含任何元素的字。如果有使集合,那麼(α, b)稱為一個逆對。令G是一切滿足以下條件的M字全體。①在字(1)中任意兩個相鄰元素不組成逆對;②規定G中兩個元素和之乘積：若不是逆對，則為G中M字；若都是逆對，而不是逆對，則為G中M字

（此時可能出現空字或只有αj或只有bj的情況）。易知在此運算下空字是單位元，而G中每一元都有逆元。可以證明這個乘法適合結合律，因而G是一個群，稱之為以x為自由生成元集的自由群。

自由群G有如下的泛性質：任給一群H,任給集x（G的自由生成元集）到集H的一個映射φ,則φ可擴充為群G到群H的一個同態映射。由此可得，任意群H都是某個自由群的商群。關於自由群有重要的尼爾森－施賴埃爾定理：自由群的任意異於單位的子群本身也是自由群。它的推廣是對一些群的自由積的子群的刻畫，即著名的庫洛什定理：若，而H是群G的子群，則群H有自由分解，其中F是自由群，而任一Bβ在G中共軛於某個Aα的一個子群。群G稱為其子群Aα（異於單位子群）的自由積，是指①集合生成整個群G，即對任意g∈G有

(2)

② 若這些元素αi都異於單位元而(2)中相鄰的兩個元素沒有同屬於一個Aα者，則這樣的表示法是惟一的。此時記作。群論中有一些著名問題，例如，在具有有限個生成元和有限個定義關係式的群中，討論兩個元素是否相等的所謂恆等問題；討論兩個元素是否共軛的所謂共軛問題；討論這樣兩個群是否同構的所謂同構問題；討論有限生成的周期群是否為有限群的所謂伯恩賽德問題。E.C.戈洛德對伯恩賽德問題給出了反例。於是退而提出了有界伯恩賽德問題：具有k個生成元且滿足恆等式的群（都記作）是否為有限群。已經證明,都是有限群，而當奇數時，總有是無限群的，後者即∏.С.諾維科夫和 С.И.阿江的著名定理。無限群論在研究一般代數系統中起著示範作用。它本身也在繼續發展。