卡拉比-丘流形

卡拉比-丘流形

卡拉比-丘流形是一個的第一陳示性類為0的緊n維Kähler流形,也叫做卡拉比-丘n-流形。數學家卡拉比在1957年猜想所有這種流形有一個里奇平直流形的度量,該猜想於1977年被丘成桐證明,成為丘定理。因此,卡拉比-丘流形也可定義為「緊里奇平直卡拉比流形」。

定義


數學上,卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold,簡稱卡丘流形)是一個的第一陳示性類為0的緊n維Kähler 流形,也叫做卡拉比-丘n-流形。數學家卡拉比在1957年猜想所有這種流形(對於每個Kähler類)有一個里奇平直流形的度量,該猜想於1977年被丘成桐證明,成為丘定理(Yau's theorem)。因此,卡拉比-丘流形也可定義為「緊里奇平直卡拉比流形」(compact Ricci-flat Kähler manifold)。
也可以定義卡拉比-丘n流形為有一個SU(n)和樂(holonomy)的流形。再一個等價的定義是流形有一個全局非0的全純(n,0)-形式。

例子


在復一維的情況,唯一的例子就是環面族。注意環上里奇平直的度量就是一個平坦度量,所以和樂群(holonomy)是當然群,也叫SU(1)。
在復二維的情形,環T4和K3曲面組成了僅有的實例。T4有時不被算作卡拉比-丘流形,因為其和樂群(也是當然群)是SU(2)的子群而不是同構於SU(2)。從另一方面講,K3曲面的和樂群是整個SU(2),所以他可以真正成為2維的卡拉比-丘流形。
在復三維的情況,可能的卡拉比-丘流形的分類還是為解決的問題。3維卡拉比-丘流形的一個例子是復射影空間CP4中的5次三流形。

應用


卡拉比-丘流形對於超弦理論很重要。在最常規的超弦模型中,弦論中有十個猜想中的維度,作為我們所知的4個維度出現,在加上某種纖維化,纖維的維度為6。卡拉比-丘n-流形的緊緻化很重要,因為他們保持一些原有的超對稱性不被破壞。更精確的說,卡拉比-丘3-流形(實維度6)的緊緻化保持四分之一的原有超對稱性不變。