角平分線的性質

角平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。性質：“距離”是指點到直線的距離，在應用時必須含有垂直這個條件，否則不能得到線段相等。判定：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。註：外角平分線上的點到角兩邊的反向延長線的距離相等。角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

定理

三角形的角平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線(bisector of angle)。三角形的內心：三角形三個角平分線的交點叫做三角形的內心。內角平分線的性質定理

性質1：在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。性質2：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。綜合性質1與性質2，可得到如下結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。三角形內角平分段性質定理，其內容是：三角形內角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例。

●三角形內角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例．

即 在三角形ABC中，當AD是頂角A的角平分線交底邊於D時，BD/CD=AB/AC.

證明：

如圖，AD為△ABC的角平分線，過點D向邊AB,AC分別引垂線DE,DF.則DE=DF.

S△ABD：S△ACD=BD/CD

又因為S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC

所以BD/CD=AB/AC.

第一部分1.角平分線可以得到兩個相等的角。角平分線，顧名思義，就是將角平分的射線。如右圖，若射線AD是角CAB的角平分線，則角CAD等於角BAD。

第二部分2.角平分線線上的點到角兩邊的距離相等。如右上圖，若射線AD是∠CAB的角平分線，求證：CD=BD∵∠DCA=∠DBA∠CAD=∠BADAD=AD∴△ACD≌△ABD∴CD=BD

第三部分3.三角形的三條角平分線交於一點，稱作三角形的內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。這一條是第二條的引申，詳細證明過程參照第二條和三角形內心。

第四部分4.三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。如右下圖，平面內任意一小於180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直線BC分別交射線AM、AN、AS於B、C、D，求證：AB/BD=AC/CD：作BE=BD交射線AS於E，如圖1：∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE，∴∠AEB=∠ADC又∵∠BAE=∠CAD,∴△AEB∽△ADC,∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.另外的情況，如圖2，直線BC交AS的反向延長線於D,如圖3，直線BC交AN的反向延長線於C;此時，仍有AB/BD=AC/CD證法與圖1類似逆定理【角平分線逆定理】1.到角兩邊的距離相等的點在角平分線上。2.平面內任意一小於180度的∠MAN如圖，直線BC分別交半直線AM、AN、AS於B、C、D，AB/BD=AC/CD則：AS平分∠MAN下面給出證明過程：證明：過B作BH∥AC交AS於H∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)∴AC/CD=HB/BD又AB/BD=AC/CD∴AB=BH∴∠BHA=∠BAH=∠HAC∴AS平分∠MAN