中線定理

中線定理（pappus定理），又稱重心定理，是歐氏幾何的定理，表述三角形三邊和中線長度關係。

定理內容：三角形一條中線兩側所對邊平方的和等於底邊的平方的一半加上這條中線的平方的2倍。

即，對任意三角形△ABC，設是I線段BC的中點，AI為中線，則有如下關係：

AB+AC=2BI+2AI

或作AB+AC=BC+2AI

中線定理即為斯台沃特定理在中點時的結論，可由斯台沃特定理直接得出，但是斯台沃特定理不容易理解。下面有四種比較容易理解的方法。

如圖，在△ ABC中，AI為BC邊上的中線。求證：AB+AC= (BC)+2AI

以BC的中點I為原點，直線BC為x軸，射線IC方向為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系。設A點坐標為（m，n），B點坐標為（-a，0），則C點坐標為（a，0）。

過A點做AD⊥x軸交x軸於點D，AE⊥y軸交y軸於點E，則D（m，0），E（0，n）。

由勾股定理可得

AO²=m²+n²,

AB²=(a+m)²+n²=a²-2am+m²+n²,

AC²=(a-m)²+n²=a²+2am+m²+n².

∴AB²+AC²=a²+2am+m²+n²+a²-2am+m²+n²

=2a²+2m²+2n²=2a²+2(m²+n²)

又∵AO²=m²+n²,

∴AB²+AC²=2a²+2AO²

又∵B（-a，0），C（a，0）,

∴a=BC

∴a²=BC²

∴2a²=2·BC²=BC²

∴AB²+AC²=BC²+2AO²=BC²+2AI².

如圖，利用餘弦定理來證明。

如圖，AI是△ABC的中線，AH是高線。利用勾股定理來證明。

在Rt△ABH中，有AB²=AH²+BH²

同理，有AI²=AH²+HI²，AC²=AH²+CH²

並且BI=CI

那麼，AB²+AC²

=2AH²+BH²+CH²

=2(AI²-HI²)+(BI-IH)²+(CI+IH)²

=2AI²-2HI²+BI²+IH²-2BI×IH+CI²+IH²+2CI×IH

=2AI²+2BI²

向量法證明中線定理。

如圖，AI是△ABC的中線，分別取向量、 、 、 、 。

則

注意到 並且

∴得

在以上討論中，通過兩式相減，還可以得到|AB^2-AC^2|=2BC*IH。 （H為垂足）