菲涅耳衍射

半波帶法和細緻的矢量圖解法 半波帶法的要點如下（圖1）：以場點為中心，分別以b，, , …為半徑將球面波陣面分割為一系列的環帶（稱為半波帶），分析各個半波帶在場點引起的各擾動之間的位相關係依次差π，振幅關係依次極其緩慢地減少，畫出相干疊加的矢量圖（圖2）, 或寫出合成振幅的表達式如下：

。

如果自由傳播，全部半波帶的貢獻都應計及，則此時的合成振幅與強度分別為

,

振幅遞減的原因是次波面（半波帶）的傾斜因子引起的，按()函數隨k的增加而下降，其中為第k個半波帶的法線與半波帶指向場點矢徑之間的夾角。舉一個數據，取，，，此時，如用近似，給振幅帶來的誤差為 ，由此足見遞減之緩慢程度。

半波帶半徑的計算公式，當，,忽略項的近似條件下，可得

在平行光照明下，令，有 。

如果對每個半波帶作更仔細孔半徑為ρk個半波帶，利用半波帶法得到的結果是：

k為偶數，

，

(暗點)；

k為奇數，

，

(亮點)。所以，當場點固定，讓圓孔半徑由小變大時，該點衍射光強時亮時暗周期性地變化，亮點光強是自由傳播時的4 倍！若圓孔半徑固定，讓場點由近變遠時，根據半波帶半徑公式，此過程中圓孔包含的半波帶k數逐漸下降，因此場點的衍射光強呈現時亮時暗的變化圖像。不過，第二種情形下的變化遠沒有第一種情形那麼敏感。須知，半波帶的半徑是很小的，舉一個數據，，，則，。

如果圓孔露出非整個半波帶，則可由細緻矢量圖解法所提供的螺旋線求解。例如，當圓孔包含1.5個半波帶時，求得菲涅耳圓屏衍射 此時第一個半波帶從圓屏外圍開始，以後各個半波帶全部開放，故軸上場點的合成振幅與光強分別為

可見，不論圓屏大小如何，中心點總是亮的，光強近乎自由傳播時的光強。當然圓屏太大了，傾斜因子作用不可忽略，光強逐漸下降，但沒有圓孔衍射那樣隨孔徑增加而時亮時暗的情景。在圓屏的陰影中心居然會有一個醒目的亮點存在，這首先是S.-D.泊松根據菲涅耳原理算出的一個驚人的結論，菲涅耳原理經受著又一次的挑戰，不久D.F.J.阿喇戈在實驗上證明了這一論斷果真屬實。菲涅耳原理的成功極大地肯定了光的波動說的正確性，在幾年之內就使得光的微粒說的聲譽喪失殆盡。

菲涅耳直邊衍射 當用一束平行光照明直邊屏時，在遠處屏幕上的衍射圖樣在幾何影界鄰近照明區內出現若干亮暗條紋，然後強度起伏逐漸減弱而趨向均勻，在幾何陰影一側仍有光強的擴展，爾後較快地衰減為零（全黑）。藉助半波帶法便可得到影界處的光強，即等於自由傳播光強的四分之一（圖4）。軸外光強的定量計算較為麻煩，在相干的線光源產生的柱面波照明直邊屏的情形下，可以利用菲涅耳積分表和考紐螺線（圖5）按以下程序進行：設軸外點為P，由P向光源作垂線，與波陣面交於一點,該點與點的弧長為，按下式算出無量綱參量

式中a、b分別是直邊與光源及屏幕的距離。然後從考紐螺線坐標的原點出發，沿曲線滑動一段長度v而達到B點，連接B與考紐螺線捲曲中心點z，則P點的振幅與光強分別為

實際上考紐螺線是按以下兩個菲涅耳積分精確地繪製出來的。

通常由v值計算x、y 值可查菲涅耳積分表，於是合成振幅A(P)也可由(x,y)值直接表示出來