增廣矩陣

如：方程AX=b 係數 矩陣為A，它的增廣矩陣為(A b)。

增廣 矩陣通常用於 判斷矩陣的有解的情況，比如說

秩（A)<秩（A b) 方程組無解；>

r（A)=r（A B)=n，方程組有唯一解；

r（A)=r（A B)

r（A)>r（A B)不可能，因為增廣 矩陣的秩大於等於 係數矩陣的秩。

對於方程組(1):

a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn=b1（1）

a21 x1+a12 x2+a23 x3+…+a2n xn=b2（2）

……………………

ai1 x1+ai2 x2+ai3 x3+ … +ain xn=bi（i）

……………………

am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amn xn=bm（m)

係數矩陣為:

[ a11 a12 a13 …a1n ]

[ a21 a22 a23 …a2n ]

[ …………………… ]

[ ai1 ai2 ai3 … ain ]

[ …………………… ]

[am1 am2 am3…amn]

增廣 矩陣為：

[ a11 a12 a13 …a1n b1 ]

[ a21 a22 a23 …a2n b2 ]

[ ……………………… ]

[ ai1 ai2 ai3 … ain bi ]

[ ……………………… ]

[am1 am2 am3…amn bm]

【補充】上面說的只是在解 線性方程組的時候，對 係數矩陣進行的一個增廣矩陣，切勿以為增廣矩陣只是右端添加一列，其實是在原矩陣的右端添加一個矩陣，而線性方程組的右端恰好是一個列數為1的矩陣。

如給定一個三階 矩陣A，設為

1 2 3

4 5 6

7 8 9

則（A,E）為

1 2 3 1 0 0

4 5 6 0 1 0

7 8 9 0 0 1

A的行最簡形為 1 2 3

0 1 -6

0 0 0

在同濟大學版《線性代數》課本64頁上的例題可以找到佐證。