有限集合

由有限個元素組成的集合

有限集合是由有限個元素組成的集合,也稱有窮集合。例如,由北京、天津、上海三個直轄市組成的集合,由所有小於10000的質數所組成的集合都是有限集合。只含一個元素的集合是一種特殊的有限集合,叫做單元素集合,至少含有一個元素的集合叫做非空集合,不含任何元素的集合叫做空集,空集只有一個,一般用希臘字母Φ(或)來表示。例如,如果一個集合是以某班的某次數學測驗不及格的學生為元素,而事實上全班學生在該次數學測驗中成績都及格,那麼這個集合就是一個空集Φ。在集合論中,約定空集Φ為有限集合,空集是一切集合的子集。

有限集合還有兩種定義方式。

一個是說與自然數串的一個線段對等的集合,以及空集合,都叫做有限集合;不是有限集合的集合叫做無限集合。

另一個定義是:不可與其自身的真子集對等的非空集合,以及空集,都叫做有限集合,不是有限集合的集合叫做無限集合。

定義


定義1 小於或等於某一自然數n的那些自然數的集合叫做 自然數串的一個線段,並用符號來表示。
定義2 與自然數串的一個線段對等的集合,以及空集合,都叫做 有限集合;不是有限集合的集合叫做 無限集合。
換句話說,有限集合(如果它不是空的)就是這樣的集合,它的元素是可以“編號”的,也就是,可以把它的元素編上號碼,寫成: ,並且所有的元素都已數到,從1到n的各個自然數全被用過而且不同的元素得到了不同的號碼,至於無限集合則是它的元素不能被這樣“編號”的集合,與有限(或無限)集合等勢的集合是有限的(相應地,是無限的),介紹有限集合和無線集合的另一種定義。
定義3 不含有與其自身對等的真子集合的集合,以及空集合,都叫做 有限集合,不是有限集合的集合叫做 無限集合。
從下面定理1和定理7就推出:定義2與定義3是等價的,事實上,如果集合在定義2的意義下是有限的,那麼,根據定理1,它在定義3的意義下也是有限的,反過來,如果集合在定義3的意義下是有限的,那麼,在定義2的意義下它應該也是有限的,因為,如若不然,它在定義2的意義下是無限的,從而根據定理7,它在定義3的意義下也是無限的,而這是不可能的,因此,有限集合的兩個定義是等價的,由此(利用反證法)立刻推出無限集合的兩個定義的等價性。
我們要指出,定義3要比定義2好一些(誠然,這只是在形式上如此),因為它是用集合的一般理論的術語陳述出來的,而定義2卻是以自然數串的一些熟知的性質為其先決條件的。

相關性質定理


定理1

(有限集合的基本定理)有限集合不能與它的任何真子集合或真母集合對等。
證明: (文中所有定理的詳細證明請參考文後書籍)定理中兩個論斷(與子集合和母集合的不對等)的每一個論斷,都可以容易地從另一個論斷推出,因為,如果A~B而且,那麼從A和B兩集合之一的有限性,像上面已經指出的那樣,即可推出另一集合也是有限的.因此,例如.讓我們來證明:有限集合小能與它的真子集合對等,對於空集,定理是成立的,因為空集合絕不會有真子集合,設於是,按照有限集合的定義,集合A便對等於自然數串的一個(至少對等於一個)線段,現在讓我們對於數n用歸納法證明:A不可能一一映象在它自己的真子集合B上,對於,這是顯然的,因為 而且只包含一個元素,是它唯一的一個真子集合,所以A不對等於B。
假設定理對於自然數n已被證明了,我們要證明定理對於也是正確的,因此,設,而且f是A 在B上的一個一一映象,用與A的元素對應的那些自然數給A的元素編號,我們將得到
對於,論斷是正確的,如果.那麼,無損於普遍性。可設,因為如若不然,我們取,並在B中用代換b而造成新集合;再構成新映象,使它和映象f,除了具有性質的元素a之外,對於A的其他所有元素完全相同,並且假定對於元素a有 於是就是A在其含有的真子集合上的一個一一映象。其次,無損於普遍性,可以認為,因為如若不然。設 ,於是,再構成新映象,使它和映象f,除了和這兩個元素外,對於A的其他所有元素完全相同;並且假定,因此,總起來,我們設 並更設 ,因為B是A的真子集合,所以有元素.因為 ,所以,因而,這就是說,B'是A'的一個真子集合。因為,所以映照f便建立起了集合A'與B'的對等性,但是 所以我們便得到了與歸納法假定相矛盾的結果,而我們定理的淪斷正就是那個假定,因此,這就是說,全部定理已被證明。
從定理1容易推出定理2。

定理2

每一個非空有限集合與自然數串的一個線段而且僅只一個線段對等。

定義4

對於非空有限集合A,由 所唯一確定的自然數n叫做集合A的元素數,數0叫做空集合的元素數。
從對等的性質就推出:兩個有限集合在而且僅只在它們具有相同的元素數時,才是對等的,所以,可以把元素數看成是有限集合的勢的定義。

定理3

有限集合的任一子集合是有限集合,無限集合的任一母集合是無限集合。

定理4

有限集合A的元素數永遠大於它的真子集合B的元素數。

定理5

全部自然數組成的集合N,以及含有與N對等的子集合的集合,全是無限集合。
證明:集合N是無限的,因為對於任一自然數n的映象,把集合 一一地映象在它的真子集合 上,這就是說,任一與N對等的集合N‘’是無限的,而按照定理3,於是,包含與N對等的集合N'作為其子集合的任一集合,也是無限的。
例 實數集合或複數集合包含自然數集合N,因此,它們都是無限集合,線段也是無限集合,因為它含有與N對等的形如 那樣的數組成的集合N。

定義5

對等於自然數集合的集合,叫做 可排集合。
換句話說,可排集合就是這樣的集合:可以利用自然數把它的元素如此地“編號”,使得全部自然數全被用到而且不同的元素水遠有不同的號碼,因此,可排集合A永遠可被寫成這樣的形狀:
偶數集合或奇數集合,以及有理數集合,全都是可排集合。
不是有限的或是可排的集合,叫做不可排集合。

定理6

每一個無限集合必含有一個可排集合。

定理7

每一個無限集合M必與其某一個真子集合對等。