補集

補集

補集一般指絕對補集,即一般地,設S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬於A的元素組成的集合,叫做子集A在S中的絕對補集。在集合論和數學的其他分支中,存在補集的兩種定義:相對補集和絕對補集。

定義


在集合論和數學的其他分支中,存在補集的兩種定義:相對補集和絕對補集。
1、相對補集
若A和B 是集合,則A 在B 中的相對補集是這樣一個集合:其元素屬於B但不屬於A,B - A = { x| x∈B且x∉A}。
2、絕對補集
若給定全集U,有A⊆U,則A在U中的相對補集稱為A的絕對補集(或簡稱補集),寫作∁UA。
注意:學習補集的概念,首先要理解全集的相對性,補集符號∁UA有三層含義:
1、A是U的一個子集,即A⊆U;
2、∁UA表示一個集合,且∁UA⊊U;
3、∁UA是由U中所有不屬於A的元素組成的集合,∁UA與A沒有公共元素,U中的元素分佈在這兩個集合中。

全集與補集


全集是一個相對的概念,只包含所研究問題中所涉及的所有元素,補集只相對於相應的全集而言。如:我們在整數範圍內研究問題,則Z為全集,而當問題拓展到實數集時,則R為全集,補集也只是相對於此而言。

有關運算


補律與差集
● 根據補集的定義,∁uA={x|x∈U且x∉A},B-A={x|x∈B且x∉A}
● A∩∁UA=∅
● A∪∁UA=U
De Morgan定律
摩根定律,又叫反演律,用文字語言可以簡單的敘述為:兩個集合的交集的補集等於它們各自補集的並集,兩個集合的並集的補集等於它們各自補集的交集。
若集合A、B是全集U的兩個子集,則以下關係恆成立:
(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),即“交之補”等於“補之並”;
(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB),即“並之補”等於“補之交”。