線性子空間
線性子空間
線性子空間（又稱向量子空間，簡稱子空間）是線性空間中部分向量組成的線性空間。設W是域P上的線性空間V的一個非空子集合，若對於V中的加法及域P與V的純量乘法構成域P上的一個線性空間，則稱W為V的線性子空間。
定義 設W是域P上的線性空間V的一個非空子集合，若對於V中的加法及域P與V的純量乘法構成域P上的一個線性空間，則稱W為V的線性子空間（或向量子空間），或簡稱子空間。
註：1.V的非空子集W是子空間的充分必要條件是：
（1）子集合W的任意兩個向量α與β之和仍是W中的向量；
（2）域P的任一數k與子集合W的任意一個向量α的積kα仍是W中的向量。
2.在線性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空間。
3.線性空間V自身與單獨一個零向量都是V的線性子空間。這兩個特殊的子空間稱為V的平凡子空間；除平凡子空間外的線性子空間稱為V的非平凡子空間。
例1設域是R，向量空間V是歐幾里得空間。取W為最後的分量是 0 的V中所有向量的集合。則W是V的子空間。
證明：顯然W非空，且
給定W中u和v，它們可以表達為 和。則。因此也是W的元素。
給定W中u和R中標量c，如果，則。因此cu也 是W的元素。
例2設域是R，向量空間V是是歐幾里得空間。取W為V的使得的所有點的集合。則W是R的子空間。
證明：顯然W非空，且
設 且 是W的元素，就是說，在平面上的點使得且。則；因為且，則，所以是W的元素。
設 是W的元素，就是在平面中點使得，並設c是R中的標量。則；因為，則，所以cp是W的元素。
例3 在全體實函數組成的空間中，所有的實係數多項式組成一個子空間。
例4 是（次數小於n的多項式全體）是線性空間P[x]的子空間。
如果是線性線性空間V的兩個子空間，那麼它們的交也是V的子空間。
如果是線性線性空間V的兩個子空間，那麼它們的和也是V的子空間。
，W都是子空間，有
4.對於子空間以下三個論斷是等價的：
1）
2）
3）
5（維數公式）如果是線性空間V的兩個子空間，那麼：.
6.如果n維線性空間V中兩個子空間的維數之和大於n，那麼必含有非零的公共向量。
7.設U是線性空間V的一個子空間，那麼一定存在一個子空間W使V等於U與W的直和。