二階導數

二階導數記作即y''=（y'）'。

例如：的導數為，二階導數即的導數為y''=2。

（1）切線斜率變化的速度，表示的是一階導數的變化率。

（2）函數的凹凸性（例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側）。

這裡以物理學中的瞬時加速度為例:

根據定義有

可如果加速度並不是恆定的，某點的加速度表達式就為：

(即速度對時間的一階導數)

又因為所以就有：

即元位移對時間的二階導數

將這種思想應用到函數中即是數學所謂的二階導數

(的一階導數）

(的二階導數)

以導數定義法定義：如果函數 的導數 在x處可導，則稱 的導數為函數 在點x處的二階導數，記為。

以極限定義法定義：函數 在 處的二階導數 是導函數 在 處的導數，即

以物理運動為例，我們知道，變速直線運動的速度u(t) 是位置函數s(t) 對時間t的導數，即

這種導數的導數 或 稱為 對的二階導數，記作

所以，直線運動的加速度就是位置函數是s(t)對時間t的二階導數。

（1）如果一個函數在某個區間上有（即二階導數）>0恆成立，那麼對於區間上的任意總有：，如果總有成立，那麼上式的不等號反向。

幾何的直觀解釋：如果一個函數f(x)在某個區間I上有（即二階導數）>0恆成立，那麼在區間上的圖象上的任意兩點連出的一條線段，這兩點之間的函數圖象都在該線段的下方，反之在該線段的上方。

（2）判斷函數極大值以及極小值。

結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等於0，而二階導數大於0時，為極小值點。當一階導數等於0，而二階導數小於0時，為極大值點；當一階導數和二階導數都等於0時，為駐點。

（3）函數凹凸性。

設在上連續，在內具有一階和二階導數，那麼，

（1）若在內,則在上的圖形是凹的；

（2）若在內,則在上的圖形是凸的。

解：用導數定義求解：