詳解九章演演算法

1261年，中國宋朝的楊輝著《詳解九章演演算法》

楊輝，中國南宋時期傑出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動於蘇杭一帶，其著作甚多。

他在《續古摘奇演演算法》中介紹了各種形式的"縱橫圖"及有關的構造方法，同時"垛積術"是楊輝繼沈括"隙積術"后，關於高階等差級數的研究。楊輝在"纂類"中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分，勾股等九類。

他非常重視數學教育的普及和發展，在《演演算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的"習算綱目"是中國數學教育史上的重要文獻。

楊輝的數學著作甚多，他編著的數學書共五種二十一卷，在他的著作中收錄了不少現已失傳的古代數學著作中的算題和演演算法．

楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面．

楊輝對籌算乘除捷演演算法進行了總結和發展，創“縱橫圖”之名．繼沈括“隙積術”之後，關於高階等差級數的研究創“垛積術”．又將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為九類．

《詳解九章演演算法》現傳本已非全帙，編排也有錯亂。從其序言可知，該書乃取魏劉微注、唐李淳風等註釋、北宋賈憲細草的《九章算術》中的80問進行詳解。在《九章算術》9卷的基礎上，又增加了3卷，一卷是圖，一卷是講乘除演演算法的，居九章之前；一卷是纂類，居書末今卷首圖、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰諸題、卷6商功的諸同功問題已佚。卷4衰分下半卷、卷5少廣存《永樂大典》殘卷中，其餘存《宜稼堂叢書》中。

從殘本的體例看，該書對《九章算術》的詳解可分為：一、解題。內容為解釋名詞術語、題目含義、文字校勘以及對題目的評論等方面。二、明法、草。在編排上，楊輝採用大字將賈憲的法、草與自己的詳解明確區分出來。三、比類。選取與《九章算術》中題目演演算法相同或類似的問題作對照分析。四、續釋注。在前人基礎上，對《九章算術》中的80問進一步作註釋。楊輝的“纂類”，突破《九章算術》的分類格局，按照解法的性質，重新分為乘除、分率、合率、互換、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。

楊輝在《詳解九章演演算法》一書中還畫了一張表示二項式展開后的係數構成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”。

楊輝三角是一個由數字排列成的三角形數表，一般形式如下：

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

.....................................

楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。

楊輝著作《詳解九章演演算法》．是為了使《九章算術》便於自學，楊輝對該書的246個題目中較難的80題作了詳解，並增添了“圖解、乘除演演算法和 纂類”三卷．“詳解”包括三個方面：一是“解題”，即解釋題意、名詞術語，校勘文字，並對題目作出評註；二是“細草”，即具體的解題過程及必要的圖示；三是“比類”，即增選與原題演演算法相同或類似的例題進行對照分析．“纂類”是把《九章算術》中的全部題目按解題方法由淺進深的順序重新整理分類．