百雞問題

今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十 四，值錢二十八。”

原書沒有給出解法，只說如果少買7隻母雞，就可多買4隻公雞和3隻小雞。所以只要得出一組答案，就可以推出其餘兩組答案。中國古算書的著名校勘者甄鸞和李淳風註釋該書時都沒給出解法，只有約6世紀的算學家謝察微記述過一種不甚正確的解法。到了清代，研究百雞術的人漸多，1815年駱騰風使用大衍求一術解決了百雞問題。1874年丁取忠創用一個簡易的算術解法。在此前後時曰醇（約1870）推廣了百雞問作《百雞術衍》，從此百雞問題和百雞術才廣為人知。百雞問題還有多種表達形式，如百僧吃百饅，百錢買百禽等。宋代楊輝算書內有類似問題，中古時近東各國也有相仿問題流傳。例如印度算書和阿拉伯學者艾布·卡米勒的著作內都有百錢買百禽的問題，且與《張邱建算經》的題目幾乎全同。

解法

數學解法

從現代數學觀點來看，實際上是一個求不定方程整數解的問題。解法如下：

設公雞、母雞、小雞分別為x、y、z 只，由題意得：

①……

②……5x+3y+(1/3)z =100

有兩個方程，三個未知量，稱為不定方程組，有多種解。

令②×3－①得：7x+4y=100；

所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

令x/4=t, （t為整數）所以x=4t

把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t

易得z=75+3t

所以：x=4t

y=25-7t

z=75+3t

因為x,y,z為正整數

所以4t大於0

25-7t大於0

75+3t大於0

解得t大於0小於等於25/7 又因為t為整數

所以t=1時

x =4；y =18；z =78

當t=2時

x =8；y =11；z =81

當t=3時

x =12；y =4；z =84

C語言解法

輸出結果為：

公雞0隻，母雞25隻，小雞75隻

公雞4隻，母雞18隻，小雞78隻

公雞8隻，母雞11隻，小雞81隻

公雞12隻，母雞4隻，小雞84隻

java語言解法

C#語言解法

程序如下：

PHP語言解法

Java語言解法以及結果