中位線定理

描述平面幾何線段間關係的定理

中位線是在三角形或梯形中一條特殊的線段,與其所在的三角形或梯形有著特殊的關係。連接三角形的兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。三角形有三條中位線,首尾相接時,每個小三角形面積都等於原三角形的四分之一,這四個三角形都互相全等。

概念


中位線概念

(1)三角形中位線定義:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
(2)梯形中位線定義:連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。

注意

(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開。三角形中線是連接一頂點和它的對邊中點的線段,而三角形中位線是連接三角形兩邊中點的線段。
(2)梯形的中位線是連接兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段。
(3)兩個中位線定義間的聯繫:可以把三角形看成是上底為零時的梯形,這時三角形的中位線就變成梯形的中位線。

定理


(1)三角形中位線定理:三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半.
(2)梯形中位線定理:梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半.

例題


中位線定理證明
中位線定理證明
已知:如圖,DE是△ABC的中位線
求證:DE∥BC DE=1/2 BC
證明:延長DE至F,使EF=DE,連接CF
∵DE是△ABC的中位線
∴AE=CE
在△ADE和△CFE中
∵AE=CE(已證),∠AED=∠CEF(對頂角相等),DE=EF(已作)
∴△ADE≌△CFE(SAS)
∴AD=CF(全等三角形對應邊相等)
∠ADE=∠F(全等三角形對應角相等)
∴BD∥CF(內錯角相等,兩直線平行)
∵AD=BD
∴BD=CF
∴四邊形BCFD是平行四邊形
∴DE//BC,DE=1/2DF=1/2BC

證明


已知△ABC中,D、E分別是AB、AC兩邊中點。
求證DE平行於BC且等於BC/2
方法一:幾何法
過C作AB的平行線交DE的延長線於G點。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括弧)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形對應邊相等)
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
∴DG∥BC且DG=BC
∵△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴DE=GE
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立
方法二:坐標法
設三角形三點分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
則一條邊長為:根號(x2-x1)^2+(y2-y1)²
另兩邊中點為((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
這兩中點距離為:根號((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最後化簡時將x3,y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半
方法三
延長DE到點G,使EG=DE,連接CG
∵點E是AC中點
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
∵點D在邊AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四邊形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立
方法四:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2
∴DE//BC且DE=BC/2