進位

進位制/位置計數法是一種記數方式，故亦稱 進位記數法/位值計數法，可以用有限的數字元號代表所有的數值。可使用數字元號的數目稱為基數(en:radix)或底數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進位。現在最常用的是十進位，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。

對於任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57(10)，可以用二進位表示為111001(2)，也可以用五進位表示為212(5)，也可以用八進位表示為71(8)、用十六進位表示為39(16)，它們所代表的數值都是一樣的。

人類天然選擇了十進位。

由於人類解剖學的特點，雙手共有十根手指，故在人類自發採用的進位制中，十進位是使用最為普遍的一種。成語“屈指可數”某種意義上來說描述了一個簡單計數的場景，而原始人類在需要計數的時候，首先想到的就是利用天然的算籌——手指來進行計數。

十進位編碼幾乎就是數值本身。

數值本身是一個數學上的抽象概念。經過長期的演化、融合、選擇、淘汰，系統簡便、功能全面的十進位計數法成為人類文化中主流的計數方法，經過基礎教育的訓練，大多數的人從小就掌握了十進位計數方法。盤中放了十個蘋果，通過數蘋果我們抽象出來“十”這一數值，它在我們的腦海中就以“10”這一十進位編碼的形式存放和顯示，而不是其它的形式。從這一角度來說，十進位編碼幾乎就是數值本身。

十進位的基數為10，數碼由0-9組成，計數規律逢十進一。

二進位有兩個特點：它由兩個數碼0，1組成，二進位數運算規律是逢二進一。

為區別於其它進位，二進位數的書寫通常在數的右下方註上基數2，或加後面加B表示，其中B是英文二進位Binary的首字母。

例如：二進位數10110011可以寫成，或寫成10110011B。對於十進位數可以不加標註，或加後綴D，其中D是英文十進位Decimal的首字母D。計算機領域我們之所以採用二進位進行計數，是因為二進位具有以下優點：

1）二進位數中只有兩個數碼0和1，可用具有兩個不同穩定狀態的元器件來表示一位數碼。例如，電路中某一通路的電流的有無，某一節點電壓的高低，晶體管的導通和截止等。

2）二進位數運算簡單，大大簡化了計算中運算部件的結構。

二進位數的加法和乘法基本運演演算法則各有四條，如下：

3）二進位天然兼容邏輯運算。

但是，二進位計數在日常使用上有個不便之處，就是位數往往很長，讀寫不便，如：把十進位的100000D寫成二進位就是11000011010100000B，所以計算機領域我們實際採用的是十六進位。二進位數轉換為十六進位數時，長度縮減為原先的約四分之一，把十進位的100000寫成八進位就是303240。十六進位的一個數位可代表二進位的四個數位。這樣，十進位的100000寫成十六進位就是186A0。

四進位是以4為基數的進位制，以 0、1、2 和 3 四個數字錶示任何實數。四進位與所有固定基數的計數系統有著很多共同的屬性，比如以標準的形式表示任何實數的能力（近乎獨特），以及表示有理數與無理數的特性。有關屬性的討論可參考十進位和二進位，下面是十進位0至15與四進位與二進位的互換。

七進位是以7為基數的計數系統。使用數碼0-6。

七進位小數通常都是循環小數，除非分母是七的倍數。有些小數可以用有限個數字來表示，如：

七進位的乘法表：

在七進位中：

加法運算舉例：

1、 2、 3、

數制轉換舉例：

1、十進位的131轉化成七進位數

（七）

2、七進位數245轉化成十進位數

七進位的一個好處是，是圓周率的一個很好的近似值。

由於二進位數據的基數R較小，所以二進位數據的書寫和閱讀不方便，為此，在小型機中引入了八進位。八進位的基數，有數碼0、1、2、3、4、5、6、7，並且每個數碼正好對應三位二進位數，所以八進位能很好地反映二進位。八進位用下標8或數據後面加O表示 例如：二進位數據（ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 對應八進位數據 (352.264)或352.264O。

十二進位　長度單位一英尺等於12英寸，一先令等於12便士，就連足球比賽罰點球的英制長度也是12碼，不過這個12碼與十二進位並無關係，巧合而已。

十二進位來源：傳說是十個手指頭加兩隻腳。這是過去規定的，20世紀開始規定一打dozen為12個。

規定一打12個是一種12進位。

瑞典歷史上有一位有遠見的國王就說過，從日常應用的角度看，十二進位比十進位更方便。他生前曾設想過，在他管轄的範圍內取消十進位，而代之以十二進位。

直到2015年還能見到十二進位，比如鐘錶轉一圈12小時等等。

有時十進位中的在十二進位中也用表示。

由於二進位數在使用中位數太長，不容易記憶，所以又提出了十六進位數。

十六進位數有兩個基本特點：它由十六個數碼：數字0～9加上字母A-F組成（它們分別表示十進位數10～15），十六進位數運算規律是逢十六進一，即基數，通常在表示時用尾部標誌H或下標16以示區別，在c語言中用添加前綴0x以表示十六進位數。

例如：十六進位數4AC8可寫成（4AC8），或寫成4AC8H。

古代人由於生產勞動的需要，要研究天文和曆法，就牽涉到時間和角度了。因為曆法需要的精確度較高，時間的單位小時，角度的單位度都嫌太大。必須進一步研究他們的小數。它們的小數都具有這樣的性質︰使,,,,等都能成為它的整數倍。以作為單位，就正好具有這個性質。譬如︰等於30個,等於20個,等於15個…這種小數的進位制在表示有些數時很方便。例如常遇到的，在十進位制中是一個無限小數，但在這種進位制中就是一個有限小數。

對於形式化的進位表示，我們可以從0開始，對數字的各個數位進行編號，即個位起往左依次為編號0，1，2，……；對稱的，從小數點后的數位則是-1，-2，……

進行進位轉換時，我們不妨設源進位（轉換前所用進位）的基為，目標進位（轉換后所用進位）的基為，原數值的表示按數位為，在中的表示為R，則有

（由於此處不可選擇字體，說明如下：等符號中，n，2，-1等均應改為下標，而上標的冪次均用^作為前綴）

舉例：

一個十進位數110，其中百位上的1表示1個，既100，十位的1表示1個，即10，個位的0表示0個，即0。

一個二進位數110，其中高位的1表示1個，即4，低位的1表示1個，即2，最低位的0表示0個，即0。

一個十六進位數110，其中高位的1表示1個，即256，低位的1表示1個，即16，最低位的0表示0個，即0。

可見，在數制中，各位數字所表示值的大小不僅與該數字本身的大小有關，還與該數字所在的位置有關，我們稱這關係為數的位權。

十進位數的位權是以10為底的冪，二進位數的位權是以2為底的冪，十六進位數的位權是以16為底的冪。數位由高向低，以降冪的方式排列。

1.二進位數、十六進位數轉換為十進位數（按權求和）

二進位數、十六進位數轉換為十進位數的規律是相同的。把二進位數（或十六進位數）按位權形式展開多項式和的形式，求其最後的和，就是其對應的十進位數——簡稱“按權求和”.

例如：把（1001.01)2 二進位計算。

解：（1001.01）2

把（38A.11)16轉換為十進位數

解：（38A.11)16

2.十進位數轉換為二進位數，十六進位數（除2/16取余法）

整數轉換。一個十進位整數轉換為二進位整數通常採用除二取余法，即用2連續除十進位數，直到商為0，逆序排列餘數即可得到――簡稱除二取余法．

例：將25轉換為二進位數

解：餘數1

餘數0

餘數0

餘數1

餘數1

所以

同理，把十進位數轉換為十六進位數時，將基數2轉換成16就可以了.

例：將25轉換為十六進位數

解：餘數9

餘數1

所以

3.二進位數與十六進位數之間的轉換

由於4位二進位數恰好有16個組合狀態，即1位十六進位數與4位二進位數是一一對應的。所以，十六進位數與二進位數的轉換是十分簡單的.

(1）十六進位數轉換成二進位數，只要將每一位十六進位數用對應的4位二進位數替代即可――簡稱位分四位.

例：將（4AF8B)16轉換為二進位數.

解： 4 A F 8 B

0100 1010 1111 1000 1011

所以

(2）二進位數轉換為十六進位數，分別向左，向右每四位一組，依次寫出每組4位二進位數所對應的十六進位數――簡稱四位合一位.

例：將二進位數轉換為十六進位數.

解： 0001 1101 0110

1 D 6

所以

轉換時注意最後一組不足4位時必須加0補齊4位

數制轉換的一般化

1）R進位轉換成十進位

任意R進位數據按權展開、相加即可得十進位數據。例如：

2）十進位轉換R 進位

十進位數轉換成R 進位數，須將整數部分和小數部分分別轉換.

1.整數轉換——---除R 取余法 規則：（1）用R 去除給出的十進位數的整數部分，取其餘數作為轉換后的R 進位數據的整數部分最低位數字； （2）再用R去除所得的商，取其餘數作為轉換后的R 進位數據的高一位數字； （3）重複執行（2）操作，一直到商為0結束。例如：115 轉換成 Binary數據和Hexadecimal數據（圖2-4）所以

2．小數轉換————---乘R 取整法 規則：（1）用R 去乘給出的十進位數的小數部分，取乘積的整數部分作為轉換后R 進位小數點后第一位數字； （2）再用R 去乘上一步乘積的小數部分，然後取新乘積的整數部分作為轉換后R 進位小數的低一位數字； （3）重複（2）操作，一直到乘積為0，或已得到要求精度數位為止。

3.小數轉換——整數退位法：舉例：0.321d轉成二進位，由於321不是5的倍數，用取余法、取整法可能要算很久，這時候我們可以採用整數退位法。原理如下：

n為轉成的二進位數的小數位數

：計算10進位數，取整

D→T轉成2進位數

，T退位，位數不足前端補零

舉例:

0.321轉成二進位數，保留7位

,取整數41

即

退位，因只有6位而要求保留7位，所以是0.0101001

用在線轉換工具校驗，正確

and、or、xor運算

所有進位的and（和）、or（或）、xor（異或）運算都要轉化為二進位進行運算，然後對齊位數，進行運算，具體的運算方法和普通的and、or、xor相同，如：，，，，，，，，。就是一般的二進位運算。

如：