散度

定義向量場的散度，首先要引入通量的概念。給定一個三維空間中的向量場以及一個簡單有向曲面，則向量場通過曲面的通量就是曲面每一點上的場向量在曲面法向方向上的分量的積分:

其中是積分的面積元，n是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量。如果曲面是封閉的，例如球面，那麼通常約定法向量是從里朝外的，所以這時候的通量是描述曲面上的場向量朝外的程度。

通量描述了一定區域（也就是）中向量場的方向趨勢，散度則是這個性質的一種局部描述，也就是說，從散度在一點的值，我們可以看出向量場在這點附近到底傾向發散或收斂。要算某一點的散度，先求包含這一點的某一個封閉曲面的通量除以封閉曲面圍起來的微小體元的體積（這體積用表示）得到的比值，向量場在點的散度即是這比值在體元趨向於點時的極限。如果用Nabla運算元表示的話，向量場的散度記作從定義中可以看出，散度是向量場的一種強度性質，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對應的廣延性質是一個封閉區域表面的通量，所以說散度是通量的體密度。物理上，散度的意義是場的有源性。某一點或某個區域的散度大於零，表示向量場在這一點或這一區域有新的通量產生，小於零則表示向量場在這一點或區域有通量湮滅。這樣的點或區域分別稱為向量場的正源（發散源）和負源（洞）。舉例來說，假設將太空中各個點的熱輻射強度向量看做一個向量場，那麼某個熱輻射源（比如太陽）周邊的熱輻射強度向量都指向外，說明太陽是不斷產生新的熱輻射的源頭，其散度大於零。

散度等於零的區域稱為無源場或管形場。流體力學中，散度為零的流體稱為不可壓縮流體，也就是說此流體中不會有一部分憑空消失或突然產生，每個微小時間間隔中流入一個微小體元的流體總量都等於在此時間間隔內流出此體元的流體總量。

(a,b為常數) (線性運算)

(為標量場)

(旋度場無源)