FFT演演算法
FFT演演算法
快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）有廣泛的應用，如數字信號處理、計算大整數乘法、求解偏微分方程等等。它是根據離散傅氏變換的奇、偶、虛、實等特性，對離散傅立葉變換的演演算法進行改進獲得的。它對傅氏變換的理論並沒有新的發現，但是對於在計算機系統或者說數字系統中應用離散傅立葉變換，可以說是進了一大步。
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設x(n)為N項的複數序列，由DFT變換，任一X（m）的計算都需要N次複數乘法和N-1次複數加法，而一次複數乘法等於四次實數乘法和兩次實數加法，一次複數加法等於兩次實數加法，即使把一次複數乘法和一次複數加法定義成一次“運算”（四次實數乘法和四次實數加法），那麼求出N項複數序列的X（m）,即N點DFT變換大約就需要N^2次運算。當N=1024點甚至更多的時候，需要N2=1048576次運算，在FFT中，利用WN的周期性和對稱性，把一個N項序列（設N=2k,k為正整數），分為兩個N/2項的子序列，每個N/2點DFT變換需要（N/2）^2次運算，再用N次運算把兩個N/2點的DFT變換組合成一個N點的DFT變換。這樣變換以後，總的運算次數就變成N+2（N/2）^2=N+N^2/2。繼續上面的例子，N=1024時，總的運算次數就變成了525312次，節省了大約50%的運算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進行下去，直到分成兩兩一組的DFT運算單元，那麼N點的DFT變換就只需要Nlog(2)(N)次的運算，N在1024點時，運算量僅有10240次，是先前的直接演演算法的1%，點數越多，運算量的節約就越大，這就是FFT的優越性。