相似三角形判定定理
數學學科概念之一
(1)平行於三角形一邊的直線和其他兩邊所構成的三角形與原三角形相似；
（2）如果兩個三角形對應邊的比相等且夾角相等，這2個三角形也可以說明相似(簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似.)；
(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那麼這兩個三角形相似(簡敘為:三邊對應成比例，兩個三角形相似.)；
(4)如果兩個三角形的兩個角分別對應相等（或三個角分別對應相等），則有兩個三角形相似(簡敘為兩角對應相等，兩個三角形相似)。
相似三角形的判定定理：
(1)平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似；
(2)如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，並且夾角相等，那麼這兩個三角形相似
則有兩個三角形相似
(簡敘為兩角對應相等，兩個三角形相似.).
直角三角形相似的判定定理：
(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似；
(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似.
(1)對應角相等；
(2)對應邊成比例；
(3)相似三角形的周長比等於相似比；
(4)相似三角形的面積比等於相似比的平方。
平行於三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。（這是相似三角形判定的定理，是以下判定方法證明的基礎。這個引理的證明方法需要平行線與線段成比例的證明）
對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。
常用的判定定理有以下6條：
判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似。（簡敘為：兩角對應相等，兩個三角形相似。）（AA）
判定定理2：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，並且對應的夾角相等，那麼這兩個三角形相似。（簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似。）（SAS）
判定定理3：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那麼這兩個三角形相似。（簡敘為：三邊對應成比例，兩個三角形相似。）（SSS）
判定定理4：兩三角形三邊對應平行，則兩三角形相似。（簡敘為：三邊對應平行，兩個三角形相似。）
判定定理5：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似。（簡敘為：斜邊與直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似。）（HL）
判定定理6：如果兩個三角形全等，那麼這兩個三角形相似（相似比為1：1）（簡敘為：全等三角形相似）。
相似的判定定理與全等三角形基本相等，因為全等三角形是特殊的相似三角形。
符合下面的情況中的任何一種的兩個（或多個）三角形一定相似：
1.兩個全等的三角形
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1:1。
2.任意一個頂角或底角相等的兩個等腰三角形
兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那麼這兩個等腰三角形相似。
3.兩個等邊三角形
兩個等邊三角形，三個內角都是60度，且邊邊相等，所以相似。
4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形
由於斜邊的高形成兩個直角，再加上一個公共的角，所以相似。
推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。
推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。
推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。
推論五：如果一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那麼這兩個三角形相似。
性質
1.相似三角形對應角相等，對應邊成正比例。
2.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等於相似比。
3.相似三角形周長的比等於相似比。
4.相似三角形面積的比等於相似比的平方。
5.相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內切圓、外接圓面積比是相似比的平方
6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中項
7.a/b=c/d等同於ad=bc.
8.不必是在同一平面內的三角形里。
如果△ABC∽△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，那麼△ABC∽△A₂B₂C₂。
基本信息
- 中文名
- 相似三角形判定定理
- 外文名
- Similar triangles judgement theorem
- 應用學科
- 數學
- 適用領域
- 幾何