排序不等式

數學上的不等式之一

排序不等式是數學上的一種不等式。它可以推導出很多有名的不等式,例如:算術幾何平均不等式(簡稱算幾不等式)、柯西不等式、切比雪夫總和不等式。排序不等式(sequence inequality,又稱排序原理)是高中數學競賽大綱、新課標 普通高中課程標準試驗教科書(人民教育出版社)數學(選修4-5 第三講第三節)要求的基本不等式

簡要介紹


排序不等式表述如下,設有兩組數a,a,……a和b,b,……b滿足是b,b,……b的亂序排列
則有當且僅當時等號成立。一般為了便於記憶,常記為:反序和≤亂序和≤順序和.

主要應用


設 ,則的最大值為_______.
【解題指南】由於a,b,c的地位是均等的,不妨設,然後利用排序不等式求解.
【解析】由排序不等式,得的最大值為3.
答案:3

證明方法


①分析法
要證
只需證
只需證
根據基本不等式
∴原結論正確
②設有兩個有序數組:
及求證: (順序和≥亂序和≥逆序和)
其中 是自然數的任何一個排列
證明:令
由題設易知
因為 故
所以
即左端不等式,類似可證明右端不等式