三角形角平分線

三角形的一個角的平分線與這個內角的對邊相交，連接這個角的頂點和交點的線段叫三角形的角平分線。（也叫三角形的內角平分線。）

由定義可知，三角形的角平分線是一條線段。

由於三角形有三個內角，所以三角形有三條角平分線。

且任意三角形的角平分線都在三角形內部。

三角形三條角平分線永遠交三角形內部於一點，這個點我們稱之為 內心

三角形的一個內角平分線與這個角的對邊所在直線相交，連接這個角的頂點和交點的線段叫做三角形內角平分線。

由定義可知，三角形的內角平分線是一條線段。

三角形有六個外角，所以三角形有六條外角平分線。

把一個角平均分成兩個角的線段或射線叫做這個角的平分線。

三角形的三條角平分線相交於一點，這一點稱為三角形的內心，內心到三角形三邊的距離相等。

定理

三角形內角平分線的性質定理：三角形的內角平分線內分對邊成兩條線段，那麼這兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。

三角形內角平分線的判定定理：在Rt△ABC中，若點D按照邊AB和邊AC的比內分邊BC，則線段AD是的平分線。

三角形外角平分線的性質定理：三角形的外角平分線分對邊成兩條線段，那麼這兩條線段與相鄰的兩邊對應成比例。三角形外角平分線的判定定理：在Rt△ABC中，若點D按照邊AB和邊CD的比外分邊BC，則線段AD是Rt△ABC的角的外角平分線。三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。

設⊿ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，．

1、三角形的外角平分線都在三角形外。

2、三角形的一條內角的平分線與不相鄰的兩個外角的平分線交於一點，該點叫做三角形的旁心。

3、三角形角平分線有個有趣的性質：三角形ABC中角A的平分線為AD，則。(可用面積法證明)

4、三角形的角平分線都在三角形內。

5、設三角形ABC，平分線AD，,半周長,

三條角平分線為ta,tb,tc,,

根據角平分線性質，,(角平分對邊二部分之比為其鄰邊之比），

,（合比）

,

在△ADC中，根據餘弦定理，

,

根據餘弦定理，,

,

.

同理可證，.

.

6、三角形的三條角平分線交於一點，該點叫做三角形的內心。常記作點I。