流體靜壓力

在如下圖1所示的靜止溶液中，任取一點K，並在其周圍取微小面積△A，則相鄰流體對它就有作用力，設為△F。當微小面積趨於零時，K點的應力為：式中，p為靜止流體中的應力，稱為靜壓力，單位 或，有時也被稱為靜壓強。

流體靜壓力有兩個重要特性。

第一特性：流體靜壓力的方向沿作用面的內法線方向，或垂直指向作用面。

因為在靜止液體中，切應力等於零，又因為流體不能承受拉力而只能承受壓力．所以作用於流體上的唯一的表面力，只有指向作用面的內法線方向的靜壓力p。

第二特性：靜止流體中任意一點流體靜壓力的大小與作用面的方位無關，即任一點上各方向的流體靜壓力大小均相等。

流體平衡微分方程

在靜止流體中取邊長為的微元六面體，如下圖2所示，微小平行六面體各邊長度,各與相應的坐標軸平行。現在來分析這作用於微小六面體上的力。

作用在平行六面體上的力有表面力和質量力兩種。因為在靜止流體中沒有切應力，所以作用在微小平行六面體的表面只有壓力。設A點的流體壓力為p。根據流體靜壓力的特性，一點上的流體壓力各個方向都是相等的，所以包含A點的三個垂直面中的一個任一面，例如與xy平面平行的ABCD面，其上各點的流體靜壓力也等於p。

由於壓力是坐標的連續函數，即，所以函數f按泰勒級數展開，並取該級數的前兩項，則可以得到與xy坐標面平行的六面體的另一面abcd上各點的壓力表示式，對於六面體的其他面上的壓力，也可以用上述方法寫出相應的表達式。

作用在微小平行六面體上的質量力為G，在一般情況下它可能是沿任一方向，它在x軸上的投影為，其中為流體的密度、為微小平行六面體的體積、X為單位質量力在x軸上的投影。

同樣，可以寫出質量力在x軸和在y軸上的投影。由於微小平行六面體處於靜止狀態，所以作用於其上的力在任一坐標軸的投影和等於零。對於X軸：

上式中，density為ρ，將上式中的各項除以ρdxdydz，即單位質量的作用力為 。對y軸和z軸採用同樣的方法處理，則得到：

以上計算式為流體平衡微分方程式，也稱歐拉平衡方程式。

重力場中的流體平衡方程

當流體處在重力場中面積質量僅有重力。單位質量流體所受質量力的3個分量應為（z軸以向上為正），將歐拉平衡方程式分別乘以並相加，得：

由於，則：

將單位質量流體所受質量力的三個分量帶入上式，得到：

對不可壓縮流體，ρ為常數，若對上式（）按下圖3所示進行積分可得到：

該式稱為不可壓縮流體靜力學基本方程。