電勢能

點電荷電場中，點電荷的電勢能：

其中，q和Q是遷移點電荷與電場中心點電荷的電荷量，單位是庫倫C。r是兩個點電荷的距離，單位是米m。常數，單位是。電勢能Ep的單位是。

點電荷電場中，一點的電勢：

電勢的單位是。電勢只和電場中心點電荷有關，而與遷移點電荷無關，因此是點電荷電場的內在本質。

當φA>0時，q>0,則Ep>0,q<0,則Ep<0;

當φA<0時，q>0,則Ep<0,q<0,則Ep>0.

沿電場線正向運動一定距離電場力做的功。

勻強電場或點電荷電場中，點電荷沿電場線正向運動一定距離，電場力做的功：

其中，q是遷移點電荷的電荷量。E是電場場強，單位是。d是沿電場線的距離，單位是m。這裡AB比圖中ab要求更高，必須是沿電場線正向運動的。

（1）電場力做的功與電勢能變化量

起點和終點狀態靜止的點電荷，電場力做功與電勢能變化量的關係：

電勢能的變化量也可以表示為△Ep=Epb-Epa，因此有Wab=-△Ep 。

（2）動能變化量與電勢能變化量

根據能量守恆定律還可以得到，一般情況下，無外力做功的運動電荷，動能變化量與電勢能變化量的關係：

如果是外力使電勢能增加，那麼其他形式的能轉化為電勢能，外力做正功，電場力做負功，電勢能增加；

如果是電場力使物體運動，那麼電勢能轉化為動能，電場力做正功，物體動能增加，電勢能減小；

如果是物體運動使電勢能增加，那麼動能轉化為電勢能，物體動能減少，電場力做負功，電勢能增加。

靜電場中的勢能。一點電荷在靜電場中某兩點（如A點和B點）的電勢能之差等於它從A點移動到另B點時，靜電力所作的功。故WAB=qEd (E為該點的電場強度，d為沿電場線的距離) ，電勢能是電荷和電場所共有的，具有統一性。

電勢能反映電場和處於其中的電荷共同具有的能量。

電勢能可以由電場力做功求得，因為 WAB=qUAB=q(ΦA-ΦB)=qΦA-qΦB=EA(初)-EB(末)= -△E，

（Φ為電勢，q為電荷量，U為電勢差，EA(初）、EB(末）為兩個點的電勢能）。

電場力做功跟電勢能變化關係：

WAB>0,△Ep<0,電場力做正功，電勢能減小~轉化成其他形式的能；

WAB<0,△Ep>0,電場力做負功，電勢能增加~其它形式的能轉化成電勢能。

順著電場線，A→B移動，若為正電荷，則WAB>0,則UAB=ΦA-ΦB>0,則Φ↓，則正Ep↓；

若為負電荷，則WAB<0,則UAB=ΦA-ΦB>0,則Φ↓，則負Ep↑。

逆著電場線，B→A移動，若為正電荷，則WBA<0,則UBA=ΦB-ΦA<0,則Φ↑，則正Ep↑；

若為負電荷，則WBA>0,則UBA=ΦB-ΦA<0,則Φ↑，則負Ep↓；

靜電力做的功等於電勢能的減少量。

Wab=Epa-Epb

電勢能公式與電場，處於電場中的電荷及電勢能零點的選擇有關，對於點電荷（電量為q）產生的靜電場，其電勢能與電荷q所處空間位置到點電荷所在位置的距離r有如下關係：We=kQq/r。其中k為常數。

這裡注意沒有負號，和引力勢不同，這是因為引力方向是指向對方的，而當Q，q都是正號時，電場力（庫侖力）是相互排斥的。

電荷在電場中某點的電勢能的大小等於把電荷從該點移到電勢能為零的點，電場力做的功。

1.場源電荷判斷法：離場源正電荷越近，試探正電荷的電勢能越大，試探負電荷的電勢能越小

2.電場線法：正電荷順著電場線的方向移動時，電勢能逐漸減小，逆著電場線的方向移動時，電勢能逐漸增大

負電荷順著電場線的方向移動時，電勢能逐漸增大，逆著電場線的方向移動時，電勢能逐漸減小

3.做功判斷法：無論正負電荷，電場力做正功，電荷的電勢能就一定減小，電場力做負功，電荷的電勢能就一定增加

零勢能處可任意選擇，但在理論研究中，常取無限遠處或大地的電勢能為0.

取無窮遠為電勢零：①正電荷產生的電場中Φ>0,遠離場源電荷Φ↓：移動正檢驗電荷W>0,Ep↓；

移動負檢驗電荷W<0,Ep↑。

②.負電荷產生的電場中Φ<0,遠離場源電荷Φ↑：移動正檢驗電荷W<0,Ep↑；

移動負檢驗電荷W>0,Ep↓。

附：

1. 只在電場力作用下：

（1）.電場力做正功，電勢能減少，動能增加。即：電能轉化為其它形式能（動能）

（2）.電場力做負功，電勢能增加，動能減少。即：其它形式能（動能）轉化為電能

2. 不只受電場力作用：

（1）電場力做正功，電勢能減少，動能如何變化不確定。

（2）電場力做負功，電勢能增加，動能如何變化不確定。

註：電勢能是標量。

儲存於點電荷系統內的電勢能。

只擁有單獨一個點電荷的物理系統，其電勢能為零，因為沒有任何其它可以產生電場的源電荷，所以，將點電荷從無窮遠移動至其最終位置，外機制不需要對它做任何機械功。特別注意，這點電荷有可能會與自己生成的電場發生作用。然而，由於在點電荷的位置，它自己生成的電場為無窮大，所以，在計算系統的有限總電勢能之時，一般刻意不將這“自身能”納入考量範圍之內，以簡化物理模型，方便計算。

一個質子受到的另一個質子的電場力F和電勢能Er隨距離r變化的示意圖。

思考兩個點電荷所組成的物理系統。假設第一個點電荷的位置為坐標系的原點，則根據庫侖定律，點電荷q1施加於位置為r的第二個點電荷q2的電場力為

也可以表示成

其中，是真空介電常數， ，單位是。

在遷移點電荷q2時，如果r減小，那麼機械能或動能等轉化為電勢能；如果r增加，那麼其電勢能轉化為動能。如圖所示：

在遠距離情況下，有。其中，為曲線L上點的切線與水平線的夾角。因此，點電荷q沿曲線L前進，每前進一段距離微分dl，電勢能增加量可以等價為

運動方向與電場力F相反，故為-F。因此總的電勢能增加量為曲線積分

在近距離情況下，並不能夠完全反映兩個路徑在距離微分上的比值。然而因為在單連通區域A上滿足格林公式條件，因此曲線積分是路徑無關的。所以這裡沿曲線L的曲線積分，一般情況下，可以理解為等於沿直線L'的曲線積分。電勢能的增加量等於

因此

電子與原子核外電子的相互作用。

一個高速電子向原子方向運動的過程中，如果距離r非常的小，原子的“自身能”將對電子產生影響。原子內部是電平衡的，而原子的質子與核外電子具有電荷量，因此將通過電場作用於高速電子。

此時，電子的電勢能變化量不能完全由上式計算。因為相互作用情況下，電子也通過電場作用於核外電子。二者的相互作用如圖所示：

高速電子在原子核外電子電場力的作用下，其速度將會減小。此時將會發射一種高頻射線，稱為“連續X射線”，這種輻射稱為“軔致輻射”。

如果電子在原子核外電子電場力的作用下減速后，還具有充足的動能，就會把原子的核外內層電子碰撞出軌道。如圖所示：

在電場力的相互作用下，電子和原子核外電子都將偏離軌道，而留下一個“空位”。此時原子的外層電子會向內層的這個位置躍遷，並且發射出和能級間距能量相等的高頻射線，稱為“標識X射線”，或“特徵X射線”。

原子序徠數大於（含）鋰Li原子的元素，都具有2個或以上能級能夠發生躍遷。躍遷發射的能量與原子序數有關，反映了原子的本質特徵，可以通過測定發射的能量來對原子進行標識。

高速電子與原子核外電子的相互作用。

現在仔細分析一下高速電子與原子核外電子相互作用的具體過程。如圖所示：

高速電子以速度v1向原子核方向運動，原子核外電子以線速度v2繞核高速旋轉。原子核對核外電子具有向心力F2。相互作用過程中，高速電子對核外電子具有電場力F12，同時核外電子對高速電子具有電場力F21。

碰撞前：

首先由庫侖定律和向心力方程，有碰撞前原子核質子正電場對核外電子的庫倫力：

萬有引力相比庫倫力很小，因此可以忽略不計。

根據這兩個方程，可以得到碰撞前原子核外電子的速度平方和半徑的乘積：

因為測不準原理的關係，不能得到v2或r2，但可以求出。電子質量和電子電荷目前都已被精確測量出來，因此這個值可以定量計算。

碰撞時：

在下一瞬間，電子向前位移，同時在F21作用下速度減小。而核外電子在F2作用下繞核旋轉線位移，同時在F12作用下速度增加。電子的運動軌跡通常根據光速不變原理進行計算。

而這個過程前後的能量變化，則可以根據能量守恆定律得到。設核外電子為原點且為基準，那麼碰撞時電子的動能Ek轉化為（電子在核外電子形成的電場中的）電勢能Ep和連續X射線能Ex1：

碰撞后：

根據能量守恆定律，仍設核外電子為原點且為基準，那麼碰撞后電子的電勢能Ep又轉化為動能，而連續X射線能Ex1就成為一部分輻射能Er。如果電子將核外電子撞出軌道而發生躍遷，那麼標識X射線能Ex2就成為另一部分輻射能：

標識X射線能的計算：

這部分射線能Ex2是確定的，而且還和原子的原子序數有關。設內層電子能級能量E1，外層電子能級能量E2，標識X射線能 等於

現在標識X射線已在金屬檢測領域廣泛應用，理論上可以用於測量除氫H和氦He之外所有材料的組成。

連續X射線能的計算：

如果核外電子繞核旋轉半徑是確定的，那麼根據以上公式，連續X射線能Ex1應該等於

用電子槍發射高速電子束流，那麼在高壓電場的作用下，電子一般能夠被加速達到光速的三分之二左右。而電子的發射極和原子核外內層電子之間的距離r1，又大大於核外內層電子繞核旋轉的半徑r2。因此上式應該是一個關於核外電子繞核旋轉半徑的函數。

然而，目前根據測量得到的連續X射線能，似乎很難說能夠得到一個確定的電子繞核旋轉半徑。追根究底，就是因為現在的測量方法，在精確測量電子位置的同時，無法不影響其繞核旋轉的速度；而在精確測量電子繞核旋轉速度的同時，又無法不影響其位置。

也就是說，有可能核外電子在原子核外出現的位置是不確定的，也有可能原子內部或許又是行星模型以外的其他模型。隨著將來測量技術的進步和計算理論的演化，或許能夠得到一個結論。這也是量子力學的研究範疇。