正比例和反比例

數學術語之一

用字母表示:如果用字母x和y表示兩種相關聯的量,用k表示它們的比值(一定),正比例關係可以用以下關係式表示:y:x=k(一定量)。

長方形的面積與長、寬有什麼關係:面積除以另條一邊等於那一條邊。

正比例


1.、用文字來描述:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量相對應的兩個數的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關係叫做正比例關係,正比例的圖像是一條直線
正比例和反比例
正比例和反比例
2、正比例關係兩種相關聯的量的變化規律:同時擴大,同時縮小,比值不變.
例如:汽車每小時行駛的速度一定,所行的路程和所用的時間是否成正比例?
以上各種商都是一定的,那麼被除數和除數. 所表示的兩種相關聯的量,成正比例關係.
注意:在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時應注意這兩種相關聯的量,雖然也是一種量,隨著另一種的變化而變化,但它們相對應的兩個數的比值不一定,它們就不能成正比例. 例如:一個人的年齡和他的體重,就不能成正比關係,正方形的邊長和它的面積也不成正比例關係.行駛的路程和時間是成正比例的量。
用x和y來表示兩個相關聯的量,用k表示它們的比值(商)正比例關係式可以用下面關係式表示:(一定)
一列火車行駛的時間和所行的路程如下表:
時間/時1234567
路程/km90180270360450540630

反比例


兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,變化方向相反。如果這兩種量相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關係叫做反比例關係。
如果用字母x和y表示兩種相關聯的量,用k表示它們的積,反比例關係可以用下面關係式表示:(一定)
反比例關係是通過應用題的總數與份數關係幫助學生認識的。在總數與份數關係中,包含總數、份數和每份數。當總數一定時,每份數和份數是兩種相關聯的變數。如果每份數變化,份數也隨著變化。同樣如果份數變化,每份數也隨著變化。它們的變化,無論擴大還是縮小,相對應的兩個量的乘積(也就是總數)一定。具體說,當總數一定時,每份數(或份數)擴大或縮小若干倍,每份數(或份數)反而縮小或擴大相同的倍數。簡稱為“一擴一縮(或一縮一擴)”。具備這種變化關係的每份數和份數成反比例關係。反比例關係在典型應用題中屬於歸總問題。反映在除法中,當被除數一定,除數和商成反比例關係。在分數中,當分數的分子一定,分母與分數值成反比例關係。在比例中,比的前項一定,比的後項與比值成反比例關係。如果再把總數與份數關係具體化為:在購物問題中,總價一定,單價和數量成反比例關係。在行程問題中,路程一定,速度和時間成反比例關係。在做工問題中,工作總量一定,工作效率和工作時間成反比例關係。如果兩種量成反比例,那麼一種量的任意兩個數的比,等於另一種量的兩個對應數的反比。如,加工零件的總數一定,是600個。如果每小時加工10個,60個小時完成任務。如果每小時加工20個,30個小時完成任務。每小時加工數量的比1∶2,與它相對應的完成時間比是2∶1。2∶1是1∶2的反比。
之後,進一步理解反比例的意義。
①分析反比例的意義。
成反比例的量包括三個數量,一個定量和兩個變數。研究兩個變數之間的擴大(或縮小)的變化關係。一種量發生變化,引起另一種量發生相反的變化。這兩種量是反比例的量,它們的關係成反比例關係。
②成反比例的量
前提:兩種相關的量(乘法關係)
要求:一個量變化,另一個量也隨著變化,並且,這兩個量中相對應的兩個數的乘積一定。
結論:這兩個量就叫做反比例的量,它們的關係叫做反比例關係。
.字母表示法:設x與y是兩個相關的量(具有相乘的關係),k是x與y的乘積(k一定),即:(一定)接著用字母x、y表示兩種相關聯的量,把正比例關係進一步抽象概括成=k(一定)。
這是120千米的路程,不同交通工具的速度和行駛所需時間:
自行車大巴車小轎車
速度/(千米/時)106080
時間/時1221.5

編寫意圖


教學正比例圖像。函數的圖像是用平面直角坐標系表示的,由於學生沒有直角坐標系方面的知識,教材直接呈現出例1中體積與高度的正比例關係圖像(正比例關係的圖像是一條經過原點的直線。因為小學階段研究的數都是正數,所以表示的圖像都限於平面直角坐標系的第一象限),再通過圖下面的兩個問題,讓學生體會正比例圖像的特點和作用,加深對正比例的認識。

教學建議

教學時,可以先出示坐標系說明如何描點連線畫出正比例關係圖像。再通過圖下面的兩個問題體會正比例圖像的特點。
(1)用圖像表示正比例關係。可以先出示例1的數據表和坐標系,說明正比例關係可以通過一個圖像來表示。然後介紹坐標系橫軸上和豎軸上的數據表示的含義,並結合例1數據表中的一對數據說明,表中的每一組數據都可以用一個點來表示。如,高度2 cm,體積50 cm這對數據,就可以用(2,50)表示,照此方法師生共同描出其餘的點。並把描好的點連起來,形成一條直線,告訴學生這就是體積與高度的正比例關係圖像。
(2)認識正比例關係圖像。結合問題
(1),使學生了解從這個圖像可以直觀看到高度與體積的變化情況,高度增加,體積也隨著增大。通過問題
(2),使學生知道:利用正比例關係圖像,不用計算,可以由一個量的值,直接找到對應的另一個量的值。如,知道高度是7 cm,可以從圖像上找到高度是7的點,再找這個點對應的豎軸上的數175,即高度是7 cm時,對應的體積175 cm。
(3)“做一做”是正比例知識的綜合練習,可以邊討論邊完成。
3.例3。

編寫意圖

教學反比例的意義。教材通過研究裝水實驗中,水的高度和水杯底面積的關係來認識反比例的意義。編排思路與例1相類似。

教學建議

有了學習正比例意義的基礎,反比例意義的學習應更加體現學生主體性,除了讓學生髮現成反比例的量之間的關係,也可以讓學生仿照正比例意義,嘗試歸納反比例的意義。
相同點:
①正比例和反比例都含有三個數量,在這三個數量中,均有一個定量、兩個變數。
②在正、反比例的兩個變數中,均是一個量變化,另一個量也隨之變化。並且變化方式均屬於擴大(乘以一個數)或縮小(除以一個數)若干倍的變化。
不同點:正比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的比值。反比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的積。
②正比例的圖像時上升直線;反比例是曲線。
③公式不同:正比例是(x/y=k(一定)),反比例是(xy=k(一定))。
④規律不同:正比例是一個數縮小几倍,另一個數也縮小几倍,一個數擴大幾倍,另一個數也擴大幾倍;反比例是一個數縮小几倍,另一個數就擴大幾倍,一個數擴大另一個數就縮小几倍。(不是數值的變大變小問題,如-2擴大3倍是-6,但是它的值是變小的並不是擴大的)
(1)正比例:兩種相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量相對應的兩個數的比值(也就是商)一定,這兩種量就叫做成正比例的量,它們的關係叫做成正比例關係. ①用字母表示:如果用字母x和y表示兩種相關聯的量,用k表示它們的比值,(一定)正比例關係可以用以下關係式表示:
②正比例關係兩種相關聯的量的變化規律:同時擴大,同時縮小,比值不變.例如:汽車每小時行駛的速度一定,所行的路程和所用的時間是否成正比例?
以上各種商都是一定的,那麼被除數和除數. 所表示的兩種相關聯的量,成正比例關係. 注意:在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時應注意這兩種相關聯的量,雖然也是一種量,隨著另一種的變化而變化,但它們相對應的兩個數的比值不一定,它們就不能成正比例. 例如:一個人的年齡和它的體重,就不能成正比關係,正方形的邊長和它的面積也不成正比例關係. 反比例:兩種相關聯的量一種量變化,另種量也隨著變化,如果這兩種量中,相對應的兩個數的積一定,這兩種量就叫做成反比例的量,它們的關係叫做成反比例關係. 用字母表示:兩種相關聯的量,分別“x”和“y”表示,“k”表示不變的量,那麼反比例關係式是: xy=k(一定) ②反比例關係的兩種相關聯的量的變化規律是一種量擴大,另一種量縮小,一種量縮而另一種量則擴大,積不變. 例:圖上距離一定,實際距離和比例尺是否成反比例. 因為實際距離×比例尺=圖上距離(一定)所以,實際距離和比例尺成反比例. 3.正比例和反比例 相同點:兩種量都是相關聯的量,一種量變化,另一種量也隨著變化. 不同點:兩種量成正比例,是一種量擴大,另一種量也隨著擴大,一種量縮小,另一種量也隨著縮小,它們擴大,縮小的規律是,這兩種量相對應的兩個數的比值不變,即商一定. 兩種量成反比例是一種量擴大,另一種量反而縮小。一種量縮小,另一種量反而擴大,它們變化的規律是這兩種量中,相對應的兩個數積不變(一定).
反比例
反比例關係是通過應用題的總數與份數關係幫助學生認識的。在總數與份數關係中,包含總數、份數和每份數。當總數一定時,每份數和份數是兩種相關聯的變數。如果每份數變化,份數也隨著變化。同樣如果份數變化,每份數也隨著變化。它們的變化,無論擴大還是縮小,相對應的兩個量的乘積(也就是總數)一定。具體說,當總數一定時,每份數(或份數)擴大或縮小若干倍,份數(或每份數)反而縮小或擴大相同的倍數。簡稱為“一擴一縮(或一縮一擴)”。具備這種變化關係的每份數和份數成反比例關係。反比例關係在典型應用題中屬於歸總問題。反映在除法中,當被除數一定,除數和商成反比例關係。在分數中,當分數的分子一定,分母與分數值成反比例關係。在比例中,比的前項一定,比的後項與比值成反比例關係。如果再把總數與份數關係具體化為:在購物問題中,總價一定,單價和數量成反比例關係。在行程問題中,路程一定,速度和時間成反比例關係。在做工問題中,工作總量一定,工作效率和工作時間成反比例關係。如果兩種量成反比例,那麼一種量的任意兩個數的比,等於另一種量的兩個對應數的反比。如,加工零件的總數一定,是600個。如果每小時加工10個,60個小時完成任務。如果每小時加工20個,30個小時完成任務。每小時加工數量的比1∶2,與它相對應的完成時間比是2∶1。2∶1是1∶2的反比。
之後,進一步理解反比例的意義。
①分析反比例的意義。
成反比例的量包括三個數量,一個定量和兩個變數。研究兩個變數之間的擴大(或縮小)的變化關係。一種量發生變化,引起另一種量發生相反的變化。這兩種量是反比例的量,它們的關係成反比例關係。
②成反比例的量
前提:兩種相關的量(乘法關係)
要求:一個量變化,另一個量也隨著變化,並且,這兩個量中相對應的兩個數的乘積一定。
結論:這兩個量就叫做反比例的量,它們的關係叫做反比例關係。
.字母表示法:設x與y是兩個相關的量(具有相乘的關係),k是x與y的乘積(k一定),即:x乘y=k(一定)
比較正、反比例
相同點:①正比例和反比例都含有三個數量,在這三個數量中,均有一個定量或者兩個變數。
②在正、反比例的兩個變數中,均是一個量變化,另一個量也隨之變化。並且變化方式均屬於擴大(乘以一個數)或縮小(除以一個數)若干倍的變化。
不同點:正比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的比值。反比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的積。
正、反比例之間的相互轉化:當正比例中的x值(自變數的值),轉化為它的倒數時,由正比例轉化為反比例;當反比例中的x值(自變數的值)也轉化為它的倒數時,由反比例轉化為正比例。