正比例和反比例

1.、用文字來描述：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係叫做正比例關係，正比例的圖像是一條直線

2、正比例關係兩種相關聯的量的變化規律：同時擴大，同時縮小，比值不變．

例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？

以上各種商都是一定的，那麼被除數和除數． 所表示的兩種相關聯的量，成正比例關係．

注意：在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時應注意這兩種相關聯的量，雖然也是一種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對應的兩個數的比值不一定，它們就不能成正比例． 例如：一個人的年齡和他的體重，就不能成正比關係，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關係．行駛的路程和時間是成正比例的量。

用x和y來表示兩個相關聯的量，用k表示它們的比值（商）正比例關係式可以用下面關係式表示：(一定)

一列火車行駛的時間和所行的路程如下表：

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，變化方向相反。如果這兩種量相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關係叫做反比例關係。

如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的積，反比例關係可以用下面關係式表示：（一定）

反比例關係是通過應用題的總數與份數關係幫助學生認識的。在總數與份數關係中，包含總數、份數和每份數。當總數一定時，每份數和份數是兩種相關聯的變數。如果每份數變化，份數也隨著變化。同樣如果份數變化，每份數也隨著變化。它們的變化，無論擴大還是縮小，相對應的兩個量的乘積（也就是總數）一定。具體說，當總數一定時，每份數（或份數）擴大或縮小若干倍，每份數（或份數）反而縮小或擴大相同的倍數。簡稱為“一擴一縮（或一縮一擴）”。具備這種變化關係的每份數和份數成反比例關係。反比例關係在典型應用題中屬於歸總問題。反映在除法中，當被除數一定，除數和商成反比例關係。在分數中，當分數的分子一定，分母與分數值成反比例關係。在比例中，比的前項一定，比的後項與比值成反比例關係。如果再把總數與份數關係具體化為：在購物問題中，總價一定，單價和數量成反比例關係。在行程問題中，路程一定，速度和時間成反比例關係。在做工問題中，工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例關係。如果兩種量成反比例，那麼一種量的任意兩個數的比，等於另一種量的兩個對應數的反比。如，加工零件的總數一定，是600個。如果每小時加工10個，60個小時完成任務。如果每小時加工20個，30個小時完成任務。每小時加工數量的比1∶2，與它相對應的完成時間比是2∶1。2∶1是1∶2的反比。

之後，進一步理解反比例的意義。

①分析反比例的意義。

成反比例的量包括三個數量，一個定量和兩個變數。研究兩個變數之間的擴大（或縮小）的變化關係。一種量發生變化，引起另一種量發生相反的變化。這兩種量是反比例的量，它們的關係成反比例關係。

②成反比例的量

前提：兩種相關的量（乘法關係）

要求：一個量變化，另一個量也隨著變化，並且，這兩個量中相對應的兩個數的乘積一定。

結論：這兩個量就叫做反比例的量，它們的關係叫做反比例關係。

.字母表示法：設x與y是兩個相關的量（具有相乘的關係），k是x與y的乘積(k一定），即：（一定）接著用字母x、y表示兩種相關聯的量，把正比例關係進一步抽象概括成=k（一定）。

這是120千米的路程，不同交通工具的速度和行駛所需時間：

教學正比例圖像。函數的圖像是用平面直角坐標系表示的，由於學生沒有直角坐標系方面的知識，教材直接呈現出例1中體積與高度的正比例關係圖像（正比例關係的圖像是一條經過原點的直線。因為小學階段研究的數都是正數，所以表示的圖像都限於平面直角坐標系的第一象限），再通過圖下面的兩個問題，讓學生體會正比例圖像的特點和作用，加深對正比例的認識。

教學時，可以先出示坐標系說明如何描點連線畫出正比例關係圖像。再通過圖下面的兩個問題體會正比例圖像的特點。

（1）用圖像表示正比例關係。可以先出示例1的數據表和坐標系，說明正比例關係可以通過一個圖像來表示。然後介紹坐標系橫軸上和豎軸上的數據表示的含義，並結合例1數據表中的一對數據說明，表中的每一組數據都可以用一個點來表示。如，高度2 cm，體積50 cm這對數據，就可以用（2,50）表示，照此方法師生共同描出其餘的點。並把描好的點連起來，形成一條直線，告訴學生這就是體積與高度的正比例關係圖像。

（2）認識正比例關係圖像。結合問題

（1），使學生了解從這個圖像可以直觀看到高度與體積的變化情況，高度增加，體積也隨著增大。通過問題

（2），使學生知道：利用正比例關係圖像，不用計算，可以由一個量的值，直接找到對應的另一個量的值。如，知道高度是7 cm，可以從圖像上找到高度是7的點，再找這個點對應的豎軸上的數175，即高度是7 cm時，對應的體積175 cm。

(3)“做一做”是正比例知識的綜合練習，可以邊討論邊完成。

3．例3。

教學反比例的意義。教材通過研究裝水實驗中，水的高度和水杯底面積的關係來認識反比例的意義。編排思路與例1相類似。

有了學習正比例意義的基礎，反比例意義的學習應更加體現學生主體性，除了讓學生髮現成反比例的量之間的關係，也可以讓學生仿照正比例意義，嘗試歸納反比例的意義。

相同點：

①正比例和反比例都含有三個數量，在這三個數量中，均有一個定量、兩個變數。

②在正、反比例的兩個變數中，均是一個量變化，另一個量也隨之變化。並且變化方式均屬於擴大（乘以一個數）或縮小（除以一個數）若干倍的變化。

不同點：正比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的比值。反比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的積。

②正比例的圖像時上升直線；反比例是曲線。

③公式不同：正比例是（x/y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。

④規律不同：正比例是一個數縮小几倍，另一個數也縮小几倍，一個數擴大幾倍，另一個數也擴大幾倍；反比例是一個數縮小几倍，另一個數就擴大幾倍，一個數擴大另一個數就縮小几倍。（不是數值的變大變小問題，如-2擴大3倍是-6,但是它的值是變小的並不是擴大的）

（1）正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係叫做成正比例關係． ①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關係可以用以下關係式表示：

②正比例關係兩種相關聯的量的變化規律：同時擴大，同時縮小，比值不變．例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？

以上各種商都是一定的，那麼被除數和除數． 所表示的兩種相關聯的量，成正比例關係． 注意：在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時應注意這兩種相關聯的量，雖然也是一種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對應的兩個數的比值不一定，它們就不能成正比例． 例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比關係，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關係． 反比例：兩種相關聯的量一種量變化，另種量也隨著變化，如果這兩種量中，相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關係叫做成反比例關係． 用字母表示：兩種相關聯的量，分別“x”和“y”表示，“k”表示不變的量，那麼反比例關係式是： xy=k（一定） ②反比例關係的兩種相關聯的量的變化規律是一種量擴大，另一種量縮小，一種量縮而另一種量則擴大，積不變． 例：圖上距離一定，實際距離和比例尺是否成反比例． 因為實際距離×比例尺=圖上距離（一定）所以，實際距離和比例尺成反比例． 3.正比例和反比例 相同點：兩種量都是相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化． 不同點：兩種量成正比例，是一種量擴大，另一種量也隨著擴大，一種量縮小，另一種量也隨著縮小，它們擴大，縮小的規律是，這兩種量相對應的兩個數的比值不變，即商一定． 兩種量成反比例是一種量擴大，另一種量反而縮小。一種量縮小，另一種量反而擴大，它們變化的規律是這兩種量中，相對應的兩個數積不變（一定）．

反比例

反比例關係是通過應用題的總數與份數關係幫助學生認識的。在總數與份數關係中，包含總數、份數和每份數。當總數一定時，每份數和份數是兩種相關聯的變數。如果每份數變化，份數也隨著變化。同樣如果份數變化，每份數也隨著變化。它們的變化，無論擴大還是縮小，相對應的兩個量的乘積（也就是總數）一定。具體說，當總數一定時，每份數（或份數）擴大或縮小若干倍，份數（或每份數）反而縮小或擴大相同的倍數。簡稱為“一擴一縮（或一縮一擴）”。具備這種變化關係的每份數和份數成反比例關係。反比例關係在典型應用題中屬於歸總問題。反映在除法中，當被除數一定，除數和商成反比例關係。在分數中，當分數的分子一定，分母與分數值成反比例關係。在比例中，比的前項一定，比的後項與比值成反比例關係。如果再把總數與份數關係具體化為：在購物問題中，總價一定，單價和數量成反比例關係。在行程問題中，路程一定，速度和時間成反比例關係。在做工問題中，工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例關係。如果兩種量成反比例，那麼一種量的任意兩個數的比，等於另一種量的兩個對應數的反比。如，加工零件的總數一定，是600個。如果每小時加工10個，60個小時完成任務。如果每小時加工20個，30個小時完成任務。每小時加工數量的比1∶2，與它相對應的完成時間比是2∶1。2∶1是1∶2的反比。

之後，進一步理解反比例的意義。

①分析反比例的意義。

成反比例的量包括三個數量，一個定量和兩個變數。研究兩個變數之間的擴大（或縮小）的變化關係。一種量發生變化，引起另一種量發生相反的變化。這兩種量是反比例的量，它們的關係成反比例關係。

②成反比例的量

前提：兩種相關的量（乘法關係）

要求：一個量變化，另一個量也隨著變化，並且，這兩個量中相對應的兩個數的乘積一定。

結論：這兩個量就叫做反比例的量，它們的關係叫做反比例關係。

.字母表示法：設x與y是兩個相關的量（具有相乘的關係），k是x與y的乘積(k一定），即：x乘y=k（一定）

比較正、反比例

相同點：①正比例和反比例都含有三個數量，在這三個數量中，均有一個定量或者兩個變數。

②在正、反比例的兩個變數中，均是一個量變化，另一個量也隨之變化。並且變化方式均屬於擴大（乘以一個數）或縮小（除以一個數）若干倍的變化。

不同點：正比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的比值。反比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的積。

正、反比例之間的相互轉化：當正比例中的x值（自變數的值），轉化為它的倒數時，由正比例轉化為反比例；當反比例中的x值（自變數的值）也轉化為它的倒數時，由反比例轉化為正比例。