解析延拓
解析延拓
假定函數徠f1(z)與f2(z)分別在區域D1與D2中解析，D1與D2有一公共部分，在其上f1(z)=f2z)成立。於是將f1(z)與f2(z)在D1及D2內的全體點上的數值集合看成一個解析函數f(z)，則f(z)在D=D1+D2中解析，在D1中f(z)=f1(z)，而在D2中f(z)=f2(z)。
函數f2(z)可以看成由拓展f1(z)的定義區域所得，故稱它為f1(z)的解析延拓。當然，根據同樣的理由，f1(z)是f2(z)的解析延拓，這種拓展原給函數定義的方法稱為解析延拓。
按照解析函數的要求把定義在較小區域上的函數延拓到更大的區域上。
同一性定理(Identity Theorem):任何兩個定義在複平面同一個區域上的解析函數，如果他們在這個區域上的無窮多個點上都相等，而且這些點中存在極限點,則這兩個函數必然在整個區域上相等。
而這裡無限個點中必須包含極限點才可以，比如sin(x)和2sin(x)在點集{k*pi,k是整數}取值都相等，但是由於這個無限點集沒有極限點，所以可以存在兩個不同的解析函數在這個點集上取值都相等。而如果這無限個點有解，那麼由於有解無限點集必然包含極限點，那麼也必然可以唯一確定一個解析函數。
根據這一定理，一個定義在較小區域上的解析函數，對於更大的區域，最多只存在一個解析函數在這個較小的區域上和它相等。這個定義在更大區域上的解析函數就叫做它的解析延拓。
對於一個具有解析表達式的解析函數，它的解析延拓的定義是明確的。在數值計算中，常常不能得到一個函數的解析表達式，而只能得到某些點上的值。這時，要利用這些已知的值去求未知函數的解析延拓在別的點的值就比較困難。在這方面的研究目前還沒有出現很好的方法或結果。解析延拓的具體實施，非常困難。需要新觀念的進入。
假定函數與分別在區域與中解析，與有一公共部分，在其上成立，於是將與在及內的全體點上的數值集合看成一個解析函數，則在中解析，在中，而在中。
函數可以看成由拓展的定義區域所得，故稱它為的解析延拓。當然，根據同樣理由，是的解析延拓，這種拓展原給函數定義的方法稱為解析延拓。
欲使這個方法有意義，必須在適當條件下由它只能得出唯一的結果，以後我們將要證明它確實如此，在給出它的證明以前，先提一下，如果對單元實函數定義類似的方法，將會遇到怎樣的困難。
設在中，人們自然會建議用此公式將的定義拓展到其他上。但困難在於兩個不同的公式可能在某一區間中表同一函數，而在另一區間中卻表不同的函數，並且也沒有明顯的理由來決定究竟哪個公式才為“正當”。例如在中，上面的函數也可以可以級數表示；但若以此級數的和定義函數，我們看到，它在區間中的值等於。
這個級數並不一致收斂，但即使對一致收斂級數，同樣的事情也會發生，例如級數在包含的區間中一致收斂；倘若利用它把級數的和從正延拓到負，便得到並非希望的結果，即的延拓為。
延拓的標準方法就是冪級數方法，假定我們從級數出發，它在圓中收斂。在圓中任取一個不同於a的點b，算出與各階導數的數值，就得到函數關於乘冪的展開式。這個級數在任何以b為圓心並且完全落在原來圓內的圓中都一定收斂，它也可能在一個更大的圓中收斂，從而提供了函數的一個解析延拓，因此整個函數就可通過冪級數而構成。每一冪級數，或者與它等價的每組數值稱為函數的元素。
下面的定理說明了以這種特殊方法作為標準方法的理由，用任何延拓方法得到的函數值也能通過冪級數方法得到。
命C為一連接點z=a與z=b的圍道，沿著這條圍道，我們已經用某種方法延拓了，即我們有一列公式，這些公式在區域列中定義了，而具有次之性質：(i)C的每一點都是一個或多個Dn的內點；(ii)相繼的互相交疊，而在公共部分上，的不同定義有相同的值。
我們要用冪級數方法實現此同一過程，即要在C上找一列點使在列中每一點上的收斂圓都包含下一點，並且用冪級數方法所得的值與用其他方法得到的相同。又用此方法，經過有限多步一定能夠達到b。
對於C上每一點z，都有一正收斂半徑與之結合，並且是z的連續函數，若為相鄰二點，並以與表相應的收斂半徑，因為與相反的就是所以無論如何，(2)恆成立。將(1)與(2)聯在一起，就證明了當時有，這就是需要的結果。
因徠為連續，所以它一定能取得下確界；又因它恆正，所以它的下確界一定是正數，設此下確界為。
我們從上的冪級數出發，命為沿圍道與a距離等於的地點它落在a點處的收斂圓內，故能將函數展成的冪級數，新的收斂半徑至少為，所以又能達到沿曲線與a距離的點，照此方法繼續進行，很明顯地，經過有限次后一定能到達b。至於用這方法得到的b上的數值與用其他方法得到的相等的事實可由一般的唯一性定理推出。
基本信息
- 中文名
- 解析延拓
- 外文名
- Analytic continuation
- 應用學科
- 數學
- 適用領域
- 函數論
- 相關概念
- 解析函數、解析等