常微分方程與動力系統
常微分方程與動力系統
蓋拉徳·泰休的《常微分方程與動力系統》介紹常微分方程和動力系統。它可作為數學、物理、力學的大學生，研究生和教師們的常微分方程和動力系統教科書或參考書。也可供相關人員參考使用。
出版社: 機械工業出版社; 第1版 (2011年5月24日)
外文書名: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
平裝: 249頁
正文語種: 簡體中文
開本: 16
ISBN: 9787111333050, 7111333055
條形碼: 9787111333050
蓋拉徳·泰休的這本《常微分方程與動力系統》介紹常微分方程和動
力系統。先從幾個簡單的明顯可求解的方程開始，接著證明初值問題的基
本結果：解的存在唯一性，可延拓性，以及關於初始條件的依賴性。進一
步，考慮線性方程，費洛凱(Floquet)定理和自治線性流。
然後，在復域中討論線性方程的費羅貝尼烏斯(Frobenius)方法。以及
對包括振動理論的施圖姆。劉維爾(Sturm-Liouville)型邊值問題的研究。
接下來引入動力系統的概念，並對連續系統和離散系統討論穩定性，
包括穩定流形和哈特曼。格羅伯曼(Hartman-Grobman)定理等。
隨後證明龐加萊一本迪克松(Poincare-Bendixson)定理，並研究幾個
來自經典力學，生態學以及電路工程中的平面系統的例子。此外，還討論
了吸引子，哈密頓(Hamilton)系統，KAM定理和周期解。
最後，介紹混沌。開始以迭代區間映射為基礎，並以同宿軌道的斯梅
爾。伯克霍夫(Smale-Birkhoff)定理和梅利尼科夫(Melnikov)方法結束。
《常微分方程與動力系統》的許多重要內容在一般的微分方程教科書
中是不介紹的。
序
譯者序
第1部分 古典理論
第1章 引言1
1.1 牛頓方程1
1.2 微分方程的分類3
1.3 一階自治方程5
1.4 求明顯解10
1.5 一階方程的定性分析15
1.6 一階周期方程的定性分析21
第2章 初值問題24
2.1 不動點定理24
2.2 基本的存在性唯一性結果26
2.3 一些推廣28
2.4 關於初始條件的依賴性31
2.5 解的可延拓性36
2.6 歐拉方法和佩亞諾定理38
第3章 線性方程42
3.1 矩陣指數42
3.2 一階線性自治系統47
3.3 n階線性自治方程53
3.4 一般的一階線性系統58
3.5 n階線性系統63
3.6 線性周期系統67
3.7 附錄：若爾當標準形72
第4章 復域中的微分方程76
4.1 基本的存在唯一性結果76
4.2 二階方程的費羅貝尼烏斯方法79
4.3 含有奇點的線性系統90
4.4 費羅貝尼烏斯方法93
第5章 邊值問題99
5.1 引言99
5.2 緊對稱運算元103
5.3 施圖姆-劉維爾問題108
5.4 正則施圖姆-劉維爾問題110
5.5 振動理論114
5.6 周期施圖姆-劉維爾方程119
第2部分 動力系統
第6章 動力系統127
6.1 動力系統127
6.2 自治方程的流128
6.3 軌道與不變集131
6.4 龐加萊映射134
6.5 不動點的穩定性135
6.6 穩定性的李雅譜諾夫方法137
6.7 一維牛頓方程139
第7章 不動點附近的局部性態143
7.1 線性系統的穩定性143
7.2 穩定流形和不穩定流形145
7.3 哈特曼-格羅伯曼定理150
7.4 附錄：積分方程156
第8章 平面動力系統162
8.1 來自生態學中的例子162
8.2 來自電路工程中的例子166
8.3 龐加萊-本迪克松定理170
第9章 高維動力系統174
9.1 吸引集174
9.2 洛倫茲方程177
9.3 哈密頓力學180
9.4 完全可積的哈密頓系統184
9.5 開普勒問題188
9.6 KAM定理190
第3部分 混沌
第10章 離散動力系統194
10.1 邏輯斯諦方程194
10.2 不動點和周期點196
10.3 線性差分方程199
10.4 不動點附近的局部性態200
第11章 一維離散動力系統203
11.1 倍周期203
11.2 薩爾科夫斯基定理205
11.3 關於混沌的定義206
11.4 康托爾集與帳篷映射209
11.5 符號動力學212
11.6 奇怪吸引子/奇怪排斥子與分形集216
11.7 作為混沌源的同宿軌道219
第12章 周期解223
12.1 周期解的穩定性223
12.2 龐加萊映射224
12.3 穩定流形和不穩定流形226
12.4 自治擾動的梅利尼科夫方法228
12.5 非自治擾動的梅利尼科夫方法232
第13章 高維繫統中的混沌235
13.1 斯梅爾馬蹄235
13.2 斯梅爾-伯克霍夫同宿定理236
13.3 同宿軌道的梅利尼科夫方法237
參考文獻241
記號術語表243
索引244
