單位根

單位根單位根（unit root）設n 是正整數，當一個數的n 次乘方等於1 時，稱此數為n 次“單位根”。在複數範圍內，n 次單位根有n 個。例如，1、－1、i、－i 都是4次單位根。確切的說，單位根指模為1的根，一般的的n個根可以表示為:，其中: ，i是虛數的單位。它的生成元是單位的n次本源根。單位的n次本源根是，其中k和n互質。單位的n次本源根數目為歐拉函數。

本原根

單位的n次根以乘法構成n階循環群。它的生成元是單位的n次本原根。單位的n次本原根是，其中k和n互質。單位的n次本原根數目為歐拉函數

單位的一次根有一個：1。

單位的二次根有兩個：+1和-1，只有-1是本原根。

單位的三次根是

其中i複數單位；除1外都是本原根。

單位的四次根是

其中 + i和 - i是本原根。

這方程的複數根 z為n次單位根。

n次單位根的模為1，即

兩個n次單位根εj與εk 的乘積還是一個n次單位根，且推論

推論2：

推論3：

若k除以n的餘數為r，則

註：它說明εk等價於r=0

推論4：

任何一個單位根都可以寫成的冪，即

說明：除了，還有沒有另一個單位根使任何一個單位根都是εk的冪，回答是肯定的，並稱這樣的根為n次本原根，n次原根。從而所有n次單位根還可以寫作

推論5：

一個n次單位根的共軛也是一個n次單位根，即（‘表示共軛）

因為，（由推論3）

註：由上證明看到，說明所有虛的n次單位根都成對共軛

推論6：

對任意整數k,h，有

當時，，否則

證明：由性質二推論4有

推論1：（i從0到n-1）

推論2：設，則（i從0到n-1）

證明：由，故n不整除k，由性質二推論4和性質三，

（i從0到n-1） （i從0到n-1）

全部單位根將複平面上單位圓n等分

見圖冊（黑圖）

其中用到了一個關於n次單位根的性質（白圖性質3）