有理數和無理數

有理數（rational number)：能精確地表示為兩個整數之比的數，如都是有理數。

整數和通常所說的分數都是有理數。有理數還可以劃分為正有理數、0和負有理數。

無理數指無限不循環小數，如：π。

無理數與有理數的區別：

1、把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，比如而無理數只能寫成無限不循環小數，比如根據這一點，人們把無理數定義為無限不循環小數。

2、所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能。根據這一點，有人建議給無理數摘掉“無理”的帽子，把有理數改叫為“比數”，把無理數改叫為“非比數”。本來嘛，無理數並不是不講道理，只是人們最初對它不太了解罷了。

利用有理數和無理數的主要區別，可以證明是無理數。

證明：假設不是無理數，而是有理數。

既然是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：

又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q 為既約分數,即最簡分數形式。

把 兩邊平方

得

即

由於是偶數，p 必定為偶數，設

由

得

同理q必然也為偶數，設

既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是既約分數矛盾。這個矛盾是有假設是有理數引起的。因此是無理數。