極小曲面

從變分學觀點看，可以考慮以已知閉曲線Γ為固定邊界的曲面的法向變分。由歐拉-拉格朗日方程(見變分法)，對於任何這樣的變分，曲面面積達到臨界值的充要條件是曲面的平均曲率h呏0。因此，通常就用這個幾何條件來定義極小曲面。

在三維歐氏空間中，若一張曲面可用方程來表示，則稱它為圖，或非參數化曲面。由極小條件中極小圖的滿足下述二階非線性橢圓型微分方程：

通常稱它為極小曲面方程。

中極小曲面的重要例子有：①極小的可展曲面是平面；②非平面的極小直紋面是正螺面；③懸鏈面是僅有的極小旋轉曲面；④曲率線為平面曲線的極小曲面是恩納佩爾極小曲面；⑤舍克爾極小曲面是極小的螺旋面，它可以看作具有實母曲線的平移極小曲面。一般地，中極小曲面的坐標可表示為等溫參數（使曲面第一基本形式中的，的參數）的調和函數。中不存在緊緻無邊界的極小曲面。

歷史上極小曲面的發展是環繞普拉托問題而展開的，這實質上是一個非線性的橢圓型邊值問題。早在1930～1931年，T.拉多和J.道格拉斯就各自獨立地在廣義解的範圍內解決了這個問題，他們得到如下的存在性定理：給定任一可求長的空間若爾當閉曲線Γ，總存在一張以Γ為邊界的廣義極小曲面。這裡可能有孤立的分支點，在分支點處曲面不是浸入。直到1970年，R.奧斯曼才證明了拉多和道格拉斯的解是處處內部正則的，即不會有分支點。後來丘成桐等又解決了何時浸入化為嵌入的問題。

除了這類存在性問題外，還有不少屬於惟一性方面的問題，其中最著名的是伯恩斯坦定理：中完備的極小圖必是平面。

正如用導數來確定函數的極值一樣，面積泛函的第一變分為零隻是面積最小的必要條件，要進一步確定最小面積的曲面，還必須考慮第二變分。在任何法向變分下，使面積泛函的第二變分恆非負的極小曲面稱為穩定極小曲面。中極小圖是穩定的。因此，從伯恩斯坦定理自然產生這樣的猜想：中完備的穩定極小曲面是平面。這個命題已被D.菲舍爾-科爾布里和 R.舍恩所證明，稍後，M.杜卡莫和彭家貴一起也獨立地予以證明。

對於伯恩斯坦定理在高維空間的推廣，人們很早就提出這樣的問題：設是的完備極小超曲面，那麼函數是否必是線性的？1965年，E.迪喬吉證明是對的；1966年,F.J.阿姆格倫證明也是對的。1967年，J.西蒙斯證明當 時，都是對的。出乎意料的是，E.邦別里、E.迪喬吉和E.朱斯蒂在1968年聯合證得,時，就是不對的。因此，這是一個十分有趣的問題。

關於極小曲面及其在高維流形的推廣，陳省身、項武義、丘成桐等都作出了重要貢獻。

參考書目

R. Osserman,A Survey of MiniMal Surfaces,Van Nos-trand-Reinhold, New York, 1969.