華氏定理

華氏定理（1940）命 q是一個正整數， f(x)=ax+...+ax 為一個k次整係數多項式且最大公約（ a, ...,a,q） =1,則對於任何 ε>0皆有

華氏定理溯源於高斯（C.F. Gauss）他首先引進 f(x)=ax 的特例情況，

即所謂高斯和: S(q, ax),(a,q)=1,

並得到估計 S(q, ax)=O(q).

高斯引進並研究高斯和的目的在於給出初等數論中非常重要的二次互反律一個證明。以後，不少數學家企圖推廣高斯和及他的估計，但他們只能對特殊的多項式所對應的 S(q, f(s))，取得成功，這一歷史名題直到1940年，才由華羅庚解決。

華氏定理是臻於至善的，即誤差主階 1-1/k 已不能換成一個更小的數。這只是取 f(x)=x及 q=p，p為素數，就可以知道。所以依維諾格拉朵夫稱讚華氏定理是驚人的。

華氏定理的直接應用是，可以處理比希爾伯特一華林定理更為廣泛的問題：

命 N為一個正整數， f(x)(1≤ i ≤s )是首項係數為正的 k次整值多項式，

考慮不定方程 N = f(x)+...+f(x) (1)

的求解問題，特別取 f(x)+...+f(x) = x即得

N =x+...+x. (2)

1770年，華林提出猜想：當 s>=s(k) , (2)有非零非負整數解。華林猜想是希爾伯特於1900年證明的。於是華林猜想就成了著名的希爾伯特一華林定理，但用希爾伯特方法所能得到的 s(k)將是很大的，20年代以後，哈代、李特伍德與依·維諾格拉朵夫用圓法及指數和估計法對 s(k)作了精緻的定量估計。用華氏定理基本上可以將依·維諾格拉朵夫關於華林問題的重要結果推廣至不定方程（1）, 即假定（1）滿足必須滿足的條件，則當 s>=s=O(Klog K)及 N充分大時, （1）有非零非負整解。當 s >= s=O(Klog K) 時，方程（1）的解數有一個漸近公式。

華氏不等式

華氏不等式(1938)命 N 為一個正整數， f(x)為一個 k次整係數多項式，則 T(a)=∑e(af(x))，

則對於任何 ε>0及 1≤j≤k 時皆有

華氏不等式的直接應用為不定方程（1），由圓法來處理方程（1），則首先需將方程（1）的解數表示成 (0,1), 上的一個積分，然後將 (0,1)分成互不相交的優孤與劣孤之並, 優孤上的積分給出（1）的解數的主項，需證明劣孤上的積分是一個低階項，從而可以忽略不計，這樣就得到了解數漸近公式。華羅庚證明了 f(x)（1≤ i ≤s）假定。為滿足必須滿足的條件的 k次整值多項式，則當s ≥ 2 +1 時，方程（1）的解數有一個漸近公式。特別對於華林問題，即方程（2），當s ≥ 2 +1 時，對充分大的 N，有非尋常非負解，且解數有漸近公式。當 k ≤ 10時，這一結果是華林問題的最佳結果。直到半個世紀之後，基於對華氏不等式的某些改良，沃恩（R.F.Vaughan）與希斯布朗（D.R. Heath-Brown ）才能對華羅庚關於華林問題的結果作點改進，但他們所用的方法卻繁得多了。

基於華羅庚關於解析數論的基本方法，即關於指數和估計的華氏定理與華氏不等式，再加上依· 維諾格拉朵夫的韋爾（H. Weyl）和估計與關於素數變數的指數和估計，華羅庚系統地研究了不定方程及其他堆壘問題的求解問題，並限制變數 x,x,...x均取素數值。華羅庚的結果總結在他的專著《堆壘素數論》中，這本書被譯成俄文、英文、德文、匈牙利文與日文，它是圓法、指數和估計及其應用方面最重要的經典著作之一。

華羅庚，中國現代數學家。1910年11月12日生於江蘇省金壇縣。華羅庚1924年金壇中學初中畢業之後，在上海中華職業學校學習不到一年，因家貧輟學，但他刻苦自修數學，1930年在《科學》上發表了關於代數方程式解法的文章，被邀到清華大學工作，開始了數論的研究。

1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年赴美國，任普林斯頓數學研究所研究員、普林斯頓大學，1948年始，他為伊利諾伊大學教授。1950年回國。

歷任清華大學教授，中國科學院數學研究所、應用數學研究所所長、名譽所長，中國數學學會理事長、名譽理事長，全國數學競賽委員會主任，美國國家科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科學院物理學數學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術大學數學系主任、副校長，中國科協副主席，國務院學位委員會委員等職。

曾任一至六屆全國人大常務委員，六屆全國政協副主席。曾被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學位。

主要從事解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多複變函數論、偏微分方程、高維數值積分等領域的研究與教授工作並取得突出成就。

40年代，解決了高斯完整三角和的估計這一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結果在數論中有著廣泛的應用）；對G.H.哈代與J.E.李特爾伍德關於華林問題及E.賴特關於塔里問題的結果作了重大的改進，至今仍是最佳紀錄。

在代數方面，證明了歷史長久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規子體一定包含在它的中心之中這個結果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉當-布饒爾-華定理。

其專著《堆壘素數論》系統地總結、發展與改進了哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發表40餘年來其主要結果仍居世界領先地位，先後被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經典數論著作之一。

其專著《多個復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式，獲中國自然科學獎一等獎。

倡導徠應用數學與計算機的研製，曾出版《統籌方法平話》、《優選學》等多部著作並親自在中國推廣應用。與王元教授合作在近代數論方法應用研究方面獲重要成果，被稱為“華-王方法”。在發展數學教育和科學普及方面做出了重要貢獻。發表研究論文200多篇，並有專著和科普性著。

1985年6月12日，華羅庚應邀到日本東京大學作學術報告。他先中文，后改用英語演講。日本學者被他精彩的演說深深吸引，原定45分鐘的報告在經久不息的掌聲中被延長到一個多小時。當他滿頭大汗結束講話時，突然心臟病發作倒在講台上。他用行動實踐了自己的諾言：“最大的希望就是工作到生命的最後一刻。”

1936年華羅庚到劍橋大學進修了兩年，他師從哈代，積極參加劍橋大學數論小組的學術討論班活動，迅速進入到該領域前沿。華羅庚潛心研究數論的重要問題，解決了華林（Waring）問題，他利（Tarry）問題等數學難題，其傑出才華在劍橋沃土上顯露出來，在國際數學界引人注目。

華羅庚抓緊這兩年的時間，學習非常刻苦努力，寫了十八篇關於“華林問題”、“他利問題”，“奇數的哥德巴赫問題”的論文，先後發表在英、蘇、印度、法、德等國的雜誌上。他的工作成績得到了大家的認可與讚許。其中他的最有名的一篇論文“論高斯的完整三角和估計問題”，代表了他的工作在這個領域的有著長期與重要的影響。

蘇聯數學家維諾格拉朵夫（1891-1983），從1934年至1983年一直擔任蘇聯科學院斯捷克洛夫數學研究所的所長。他對韋爾和的估計方法及以素數為變數的指數和估計方法自30年代以來，對數論發展產生了深刻的影響。他在堆壘數論方面得到不少深刻的結果，尤其是他對奇數的哥德巴赫猜想的基本解決及關於華林問題的結論是最為有名。

維諾格拉朵夫的主要成就是發表在30年代，這也是華羅庚進入數論研究的高峰時期。他認真學習了維諾格拉朵夫的方法，雖然華羅庚是自學維諾格拉朵夫方法的。但他對這個方法的了解和貢獻卻不在旁人之下。維諾格拉朵夫在他的書《數論中的三角和方法》的序言中，提到這個方法是我與柯坡爾特、朱達柯夫、華羅庚及其他人一起合作得出的。

華羅庚最重要的數論工作當然還是他自己獨創性的工作。