並聯電阻

並聯電阻

如圖所示:第一幅圖中兩電阻並列連接在電路中稱為並聯電阻,另外由單純的並聯電阻或用電器(用電器:如,電視機,空調,電腦等)構成的電路稱為並聯電路。對比於第二個電路,電阻(用電器),依次連接起來的為串聯電路

定義


並聯電路:並聯的各支路電壓相等,幹路電流等於各個支路和。
表達式:電阻R1R2R3……Rn並聯,電壓U1=U2=……=Un幹路電流:In=I1+I2+……+In由於P=UI,I=U/R,代入,並聯電阻的功率比P1:P2:P3……:Pn=U1^2/R1:U2^2/R2……Un^2/Rn=1/R1:R2……1/Rn由於是純電阻,發熱比Q1:Q2……:Qn=Pn比=1/R1:R2……1/Rn。

計算方法


計算公式

1.總電流的計算:I總=I1+I2+......+In。即總電流等於通過各個電阻的電流之和。
2.總電壓的計算:U總=U1=U2=……=Un。並聯電路各支路兩端的電壓相等,且等於總電壓。
3.總電阻值的計算:1/R總=1/R1+1/R2+……+1/Rn。即總電阻的倒數等於各分電阻的倒數之和。
特別的,兩電阻並聯總值為:對於n個相等的電阻並聯,公式就簡化為R並=R/n。
4.並聯電阻值的估算(並聯阻值比任何一個電阻的值都小)
(1)若並聯的兩電阻值之間超過四倍,則總電阻小於任一併聯電阻之值。
(2)若並聯的兩電阻值之間小於四倍,則總電阻小於。鑒於根號不便於口算,還可證明當兩電阻值之間小於三倍,則總電阻小於。
註:結論(1)(2)無論有沒有四倍之間的關係結論總是成立的,只是並聯電阻關係不同,估算的值精度不同。結論(2)可以利用基本不等式證明。舉例:兩電阻2和4,用(1)估算小於2,用(2)估算小於1.5。

圖解法

1.方法一
若要求R1與R2的並聯電阻值,可先作直角坐標系xOy,並作Y=X的直線l,在OX軸上取A點,使OA長度等於R1的阻值,在OY軸上取B點,使OB長度等於R2的阻值,連結AB與直線l相交於M點,則M點的坐標(X或Y)值即為R1與R2的並聯阻值。
證明:作MD⊥OX
∵ △AOB∽△ADM
∴ AO/BO=AD/DM
因OD=DM,並設其長度為R的數值
R1/R2=(R1-R)/R
解得: R=(R1·R2)/(R1+R2)
此即R1、R2的並聯電阻的阻值。
應用若需求三個電阻的並聯電阻值,可先求R1、R2的並聯電阻,得到D點,再在OY軸上取C點,使OC長度等於R3的值,連CD與l直線交於N點,則N點的坐標值為R1、R2、R3的並聯總阻的阻值。例如,令R1=4Ω,R2=12Ω,R3=6Ω,求解結果為圖2所示,R1、R2的並聯總阻為3Ω,R1、R2、R3的並聯總阻為2Ω。
2.方法二
在平面上任取一點O,用相互交角為120°的三矢量作為坐標軸OX、OY、OZ(每軸均可向負向延伸),若要求R1、R2的並聯電阻,只要在OX軸上取OA長等於R1的值,在OY軸上取OB長等於R2值,連結AB,交OZ軸(負向)於C點,則OC長度(絕對值)即為所求並聯電阻阻值。
證明
面積S△AOB=S△AOC+S△BOC
即 (1/2)AO×BO×Sin120°
=(1/2)AO×OC×sin60°+(1/2)BO×OC×sin60°AO×BO =AO×OC+BO×OCR1R2=R1R+R2R
∴ R=R1R2/(R1+R2)
應用可方便地連續求解多個電阻的並聯值。例如,若要求R1、R2、R3的並聯總阻的阻值,只需先求出R1、R2並聯后的阻值R12(即得到C點),再在OA的負向取一點D,快OD長等於R3的值,連結CD交OY軸於E點,則OE長即為R1、R2、R3的並聯總阻的阻值。如R1=4Ω,R2=12Ω,R3=6Ω,按此法可求出R12=3Ω;R1、R2、R3三電阻並聯電阻值為2Ω。
以上求解方法對於求電容器串聯、彈簧串聯,凸透鏡成象等與電阻並聯有相似計算公式的問題,同樣適用。

數學方法

因為在並聯電路中幹路電流等於各個支路電流之和I總=I1+I2+I3+I4+.........+In,幹路電壓等於各用電器電壓
U總=U1=U2=……=Un
I總=U/R
1/R=I總/U
I1=U/R1
1/R1=I1/U
In=U/Rn
1/Rn=In/U
所以1/R1+1/R2+1/R3+........1/Rn=I1+I2I3+I4+.........+In/U=I總/U
所以1/R總=1/R1+1/R2+1/R3+......+1/Rn

性質特點


串聯電路

歐姆定律:I=U/R
變形求電壓:U=IR
變形求電阻:R=U/I
電壓的關係:U=U1+U2
電流的關係:I=I1=I2
電阻的關係:R=R1+R2

並聯電路

電壓的關係:U=U1=U2
電流的關係:I=I1+I2
電阻的關係:1/R=1/R1+1/R2
電功的計算:W=UIt
電功率的定義式:P=W/t
常用公式:P=UI
焦耳定律:Q放=IRt
對於純電阻電路而言:Q放=IRt =Ut/R=UIt=Pt=UQ=W
照明電路的總功率的計算:P=P1+P1+……

故障處理


1、原因
高壓斷路器加裝並聯電阻的目的是限制操作過電壓。並聯電阻一般有金屬絲電阻和線性陶瓷電阻。我國500kV的SF6斷路器一般都裝有合閘電阻,阻值為400Ω的是線性瓷電阻,由於容量有限,所以容易被燒壞。當實測並阻電阻與出廠或交接試驗測量值不符時,對陶瓷電阻而言,可能存在的原因如下:
(1)電阻片老化,導致電阻值增大。
(2)電阻片被擊穿,導致電阻值降低。
(3)多串電阻並聯時.若阻值顯著增大,則可能是某串電阻斷開所致。
2、處理方法
有人認為在斷路器不開合空載長線路時,並經廠家同意可考慮取消合閘電阻。關於取消合閘電阻問題仍在討論中。