線性卷積

對於線性非時變離散時間系統來說，若序列x(n)是系統的輸入，h(n)是系統在單位脈衝作用下的單位脈衝響應，則由於輸入序列x(n)可表示為一系列脈衝的線性組合，所以，根據線性系統的疊加性質，系統的輸出在系統初始不儲能的條件下(零狀態響應)可由圖1式求得。

上式在運算過程存在序列的翻轉、移位、相乘和相加，所以稱為卷積和。x(n)*h(n)表示兩個序列相卷積的運算符號，故式①也就是卷積的定義式。為了與離散傅里葉變換的循環卷積以及周期序列的周期卷積相區別，通常所指的卷積又稱為線性卷積。卷積運算符合交換率，可寫成另一種等效形式。

線性卷積的計算可以用解析法，也可以用圖解法。若兩 個序列的長度分別為N和N，則卷積結果的總長度應為L=N+N-1。

同理，對線性非時變連續系統來說，若連續時間信號x(t)是系統的輸入，h(t)是系統在單位脈衝作用下的單位衝激響應，則系統在零狀態的輸出為它們的卷積積分。

線性卷積是數字信號處理中最常見的一種基本運算，不僅用於系統分析還用於系統設計。如果代表濾波器的脈衝響應則卷積運算就是一種線性濾波，y(n)是信號x(n)通過濾波器后的響應。

線性卷積是對線性移不變（LSI）系統的輸入輸出關係的描述，體現系統的特性。

線性卷積的表達式為圖3，一般情況，現實的系統為因果系統，有k<0時，恆有h(k)=0，則如圖4，此時輸出y(n)也為因果信號。

若x(n)是一個N點序列，h(n)是一個m點序列，則卷積的結果y(n)將是L=N+M-1點的序列。

卷積是一種典型的乘累加運算，非常適合在DSP處理器上實現。

（1）結合律：三個序列卷和運算，任意兩個序列先卷和運算，再與第3個序列作卷和運算，其運算結果等同。即

φ1(t)k1(t)ρ1(t)=k1(t)ρ1(t)φ1(t)=ρ1(t)φ1(t)k1(t)。

（2）交換律：離散序列卷和運算滿足交換律，即兩序列卷和運算與卷和次序無關，即 φ1(t)·φ2(t)=φ2(t)·φ1(t)。

（3）分配律：兩個序列先行相加運算再與第3個序列做卷和運算，其結果等於這兩個序列分別與第3個序列先做卷和運算，然後二者再相加。

φ1(t)·a+φ2(t)·a=[φ1(t)+φ2(t)]·a。

（4)在線的數中不能有卷積的微分，有線性卷積，但是公式保持不變。

可以用導數的表達式定義，有lim,S 指數，F函數值，i速度值據二級導數分析和導數定義可以有極限純在極限值和函數值可以屬於值可以屬於 lim，阿基米德螺線和三等分角的指數角，直角，角圓中，新等角螺螺線對數中值定律和斜行螺線對數中值的導數二階段，歪曲福軸制金達平行定律中指數F，複數I，導數lim中，屬於高數數學定律的符號，如圖樓下為定律符號運用和定律運用。

可以用基本音知，可以用開始的音樂中的音質降調調位整位整調保持音準趨勢向下二同G調g大點n級或f級，而在音質上調調位整調保持了單音準或多音準的控制，達到聽覺和試聽音知放鬆即可。

function y=conv(x,h,show_flag)

% 線性卷積的實現 y=x*h

% if show_flag=1 plot x and result in matlab

%

if nargin < 3

show_flag = 0;

end

N = length(x);

M = length(h);

L = M+N-1;

y = zeros(L,1);

for n=1:N

for k=1:M

y(n+k-1) = y(n+k-1) + x(n)*h(k);

end

end

if show_flag == 1

figure,

max_val = max([max(y),max(x),max(h)]);

subplot(2,2,1),stem(x);title('x(n)');grid on;axis([0 L 0 max_val])

subplot(2,2,2),stem(h);title('h(n)');grid on;axis([0 L 0 max_val])

subplot(2,2,3),stem(y);title('y(n)');grid on;axis([0 L 0 max_val])

end

離散線性卷積的定義：設長度為N1的序列x(n)和長度為N2的序列h(n)進行線性卷積，得到長度為N1+N2-1的y(n)如圖5。

離散圓周卷積的定義：圓周卷積是定義在有限長序列之間的。設有限長序列x(n)和h(n)的長度分別為N1和N2，取N>=max(N1,N2)，定義它們的N點圓周卷積為如圖6。

圓周卷積與線性卷積之間的關係：當有限長序列x(n)和h(n)的長度分別為N1和N2，取N>=max(N1,N2)，當N>=N1+N2-1，則線性卷積與圓周卷積相同。

對於線性卷積，一般直接比較麻煩，由上可知當取點數足夠多時（點數不夠補零），可求解圓周卷積即可，而圓周卷積又可通過FFT實現，從而實現線性卷積通過FFT和IFFT實現。