蒙提·霍爾悖論

這個遊戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機會率？如果嚴格按照上述的條件的話，答案是會—換門的話，贏得汽車的機會率是 2/3。

這條問題亦被叫做蒙提霍爾悖論：雖然該問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違反直覺。這問題曾引起一陣熱烈的討論。

以下是蒙提霍爾問題的一個著名的敘述，來自 Craig F. Whitaker 於1990年寄給《展示雜誌》（Parade Magazine）瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）專欄的信件：

假設你正在參加一個遊戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一號門，然後知道門後面有什麼的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三號門。他然後問你：“你想選擇二號門嗎？”轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？

以上敘述是對 Steve Selvin 於1975年2月寄給 American Statistician 雜誌的敘述的改編版本。如上文所述，蒙提霍爾問題是遊戲節目環節的一個引申；蒙提·霍爾在節目中的確會開啟一扇錯誤的門，以增加刺激感，但不會容許玩者更改他們的選擇。如蒙提·霍爾寄給 Selvin 的信中所寫：

如果你上過我的節目的話，你會覺得遊戲很快—選定以後就沒有交換的機會。

Selvin 在隨後寄給 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍爾問題”這個名稱。

一個實質上完全相同的問題於1959年以“三囚犯問題”（three prisoners problem）的形式出現在馬丁·加德納的《數學遊戲》專欄中。葛登能版本的選擇過程敘述得十分明確，避免了《展示雜誌》版本里隱含的前提條件。

這條問題的首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的 Calcul des probabilités 一書中。在這本書中，這條問題被稱為“貝特朗箱子悖論”（Bertrand's Box Paradox）。

Mueser 和 Granberg 透過在主持人的行為身上加上明確的限制條件，提出了對這個問題的一種不含糊的陳述：

參賽者在三扇門中挑選一扇。他並不知道內里有什麼。

主持人知道每扇門後面有什麼。

主持人必須開啟剩下的其中一扇門，並且必須提供換門的機會。

主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人隨機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。

參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。

轉換選擇可以增加參賽者的機會嗎？

問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，贏得汽車的機會將會加倍。

有四種可能的情況，全部都有相等的可能性不同：

參賽者挑山羊一號(1/3)，主持人挑山羊二號(1/1)。轉換將贏得汽車(1/3)。

參賽者挑山羊二號(1/3)，主持人挑山羊一號(1/1)。轉換將贏得汽車(1/3)。

參賽者挑汽車(1/3)，主持人挑山羊一號(1/2)。轉換將失敗(1/6)。

參賽者挑汽車(1/3)，主持人挑山羊二號(1/2)。轉換將失敗(1/6)

在頭兩種情況，參賽者可以透過轉換選擇而贏得汽車。在後兩種情況是參賽者透過保持原來選擇而贏的情況。因為四種情況中有兩種是透過轉換選擇而贏的，所以透過轉換選擇而贏的概率是2/3。