周期函數

設f（u）是定義在集M上的函數，u=g（x）是集M1上的周期函數，且當X∈M1時，g（x）∈M，則複合函數f（g（x））是M1上的周期函數。

證：

設T是u=g（x）的周期，則 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g（x）∴f（g（x+T））=f（g（x））

∴=f（g（x））是M1上的周期函數。

例1

設=f（u）=u2是非周期函數，u= g（x）=cosx是實數集R上的周期函數，則f（g（x））=cos2x是R上的周期函數。

同理可得：⑴f（x）=Sin（cosx），⑵f（x）=Sin（tgx），⑶f（x）=Sin2x，⑷f（n）=Log2Sinx（sinx>0）也都是周期函數。

例2

f(n)=Sinn是周期函數，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函數，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函數（中學數學中已證）。

例3

f(n)=cosn是周期函數，n=g(x)= （非周期函數）而f(g(x))=cos 是非周期函數。

證：假設cos 是周期函數，則存在T>0使cos （k∈Z）與定義中T是與X無關的常數矛盾，

∴cos 不是周期函數。

由例2、例3說明，若f(u)是周期函數，u= g(X）是非周期函數，這時f(g(x））可能是，也可能不是周期函數。

設f1（x）、f2（x）都是集合M上的周期函數，T1、T2分別是它們的周期，若T1/T2∈Q則它們的和差與積也是M上的周期函數，T1與T2的公倍 數為它們的周期。

證：

設（（p·q)=1）設T=T1q=T2p，則有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ，∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍數T為周期的周期函數。同理可證：f1（x）、f2（x）是以T為周期的周期函數。

推論

設f1（x） 、f2（x）……fn（x）是集合M上的有限個周期函數T1、T2……Tn分別是它們的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意兩個之比）都是有理數，則此n個函數之和、差、積也是M上的周期函數。

例1

f（x）=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍數2π為周期的周期函數。

例2

討論f(X)= 的周期性。

解：2tg3 是以T1= 為最小正周期的周期函數。

5tg 是以T2 為最小正周期的周期函數。

tg2 是以T3=為最小正周期的周期函數。

又都是有理數

∴f（x）是以T1、T2、T3最小公倍數（T1、T2、T3）=為最小正周期的周期函數。

同理可證：

⑴f（x）=cos ；

⑵f（x）=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函數。

設f1（x）=sin a1x，f2（x）=cos a2x，則f1（x）與f2（x）之和、差、積是周期函數的充要條件是a1/a2∈Q。

證：

先證充分性：

若a1/a2∈Q，設T1、T2分別為f1（x）與f2（x）的最小正周期，由定理4，可得f1（x）與f2（x）之和、差、積是周期函數。

再證必要性（僅就f1（x）與f2（x）的差和積加以證明）。

⑴設sina1x-cosa2x為周期函數，則必存在常數T>0，

使sina1（x+T）-sina1x=cosa2（x+T）-cosa2x 2cos（a1x+T）sin = -2sin（a2x+T）sin ⑴。

令x= 得2cos（a1x+T），則（K∈Z）。⑵

或 C∈Z⑶

又在⑴中令 2sin（a2x+T)sin =-2sin =0

由⑷

由sin ⑸

由上述⑵與⑶，⑷與⑸都分別至少有一個成立。

由⑶、⑸得⑹

∴無論⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。

⑵設sinaxcosa2x為周期函數，則 是周期函數。

周期函數的判定方法分為以下幾步：

（1）判斷f（x）的定義域是否有界；

例：f（x）=cosx（≤10）不是周期函數。

（2）根據定義討論函數的周期性可知非零實數T在關係式f（x+T）= f（x）中是與x無關的，故討論時可通過解關於T的方程f（x+T）- f（x）=0，若能解出與x無關的非零常數T便可斷定函數f（x）是周期函數，若這樣的T不存在則f（x）為非周期函數。

例：f（x）=cosx^2 是非周期函數。

（3）一般用反證法證明。（若f（x）是周期函數，推出矛盾，從而得出f（x）是非周期函數）。

例：證f（x）=ax+b(a≠0）是非周期函數。

證：假設f（x）=ax+b是周期函數，則存在T（≠0），使之成立，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0 又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f（x）是非周期函數。

例：證f（x）= ax+b是非周期函數。

證：假設f（x）是周期函數，則必存在T（≠0）對，有（x+T）= f（x），當x=0時，f（x）=0，但x+T≠0，∴f（x+T）=1，∴f（x+T） ≠f（x）與f（x+T）= f（x）矛盾，∴f（x）是非周期函數。