正割

三角函數的一種

正割(Secant,sec)是三角函數的一種。它的定義域不是整個實數集,值域是絕對值大於等於一的實數。它是周期函數,其最小正周期為2π。

正割是三角函數的正函數(正弦、正切、正割、正矢)之一,所以在2kπ到2kπ+π/2的區間之間,函數是遞增的,另外正割函數和餘弦函數互為倒數。

在單位圓上,正割函數位於割線上,因此將此函數命名為正割函數。

和其他三角函數一樣,正割函數一樣可以擴展到複數。

符號史


正割的數學符號為sec,出自英文secant。該符號最早由數學家吉拉德在他的著作《三角學》中所用。

定義


直角三角形中

某直角三角形中,一個銳角的斜邊與其鄰邊的比(即角A斜邊比鄰邊),叫做該銳角的正割,用 sec(角)表示。如設該直角三角形各邊為a,b,c,則。
(sec的完整形式為secant)
在y=secx中,以x的任一使secx有意義的值與它對應的y值作為(x,y).在直角坐標系中作出的圖形叫正割函數的圖像,也叫正割曲線。

直角坐標系中

設α是平面直角坐標系xOy中的一個象限角,是角的終邊上一點,是P到原點O的距離,則α的正割定義為: 。

單位圓定義

圖像中給出了用弧度度量的某個公共角。逆時針方向的度量是正角而順時針的度量是負角。設一個過原點的線,同 x 軸正半部分得到一個角 θ,並與單位圓相交。這個交點的 y 坐標等於 sin θ。在這個圖形中的三角形確保了這個公式;半徑等於斜邊並有長度 1,所以有了 。單位圓可以被認為是通過改變鄰邊和對邊的長度並保持斜邊等於 1 查看無限數目的三角形的一種方式。
對於大於2π或小於−2π的角度,簡單的繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下,正割變成了周期為2π的周期函數: 。
對於任何角度θ和任何整數k。

級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義:

與其他函數

正割函數和餘弦函數互為倒數。
即: 。

微分方程定義

sec的微分是sec和tan的乘積
sec的導數如下:
另外
所以微分方程定義為:

指數定義

恆等式


和差角公式

巴洛正割積分


巴洛在1670年提出正割的積分

正割定理


一個三角形。它的三個內角及其對邊。
有一些含有正割的恆等式,滿足任意三角形ABC:
這些實際上是射影定理的倒數。

性質


y=secx的性質
(1)定義域,{}
(2)值域,|secx|≥1.即secx≥1或secx≤-1;
(3)y=secx是偶函數,即sec(-x)=secx.圖像對稱於y軸;
(4)y=secx是周期函數.周期為2kπ(k∈Z,且k≠0),最小正周期T=2π
正割與餘弦互為倒數,餘割與正弦互為倒數。
(5)
(6)
正割
性質
奇偶性
定義域{ }
到達域|secx|≥1
周期
特定值
當x=01
當x=+∞
當x=-∞
最大值
最小值-∞
其他性質
漸近線
無實根
臨界點
拐點(kπ,0)
不動點
k是一個整數.