約數

在自然數（0和正整數）的範圍內，

任何正整數都是0的約數。

4的正約數有：1、2、4。

6的正約數有：1、2、3、6。

10的正約數有：1、2、5、10。

12的正約數有：1、2、3、4、6、12。

15的正約數有：1、3、5、15。

18的正約數有：1、2、3、6、9、18。

20的正約數有：1、2、4、5、10、20。

注意：一個數的約數必然包括1及其本身。

如果一個數c既是數a的因數，又是數b的因數，那麼c叫做a與b的公因數。

兩個數的公因數中最大的一個，叫做這兩個數的最大公因數。

約數，也叫因數。

枚舉法：將兩個數的因數分別一一列出，從中找出其公因數，再從公因數中找出最大的一個，即為這兩個數的最大公因數。

例：求30與24的最大公因數。

30的正因數有：1,2,3,5,6,10,15,30。

24的正因數有：1,2,3,4,6,8,12,24。

易得其公因數中最大的一個是6，所以30和24的最大公因數是6。

短除符號就像一個倒過來的除號，短除法就是先寫出要求最大公因數的兩個數A、B，再畫一個短除號，接著在原本寫除數的位置寫兩個數公有的質因數Z（通常從最小的質數開始），然後在短除號的下方寫出這兩個數被Z整除的商a，b，對a，b重複以上步驟，以此類推，直到最後的商互質為止，再把所有的除數相乘，其積即為A，B的最大公因數。（短除法同樣適用於求最小公倍數，只需將其所有除數與最後所得的商相乘即可）

例：求12和18的最大公約數。

解：用短除法，由左圖，易得12和18的最大公約數為。

例：求144的所有約數。

解：所有約數（72,2）（36,4）（18,8）（9,16）（3,48）

將需要求最大公因數的兩個數A，B分別分解質因數，再從中找出A、B公有的質因數，把這些公有的質因數相乘，即得A、B的最大公約數。

例：求48和36的最大公因數。

把48和36分別分解質因數：

其中48和36公有的質因數有2、2、3，所以48和36的最大公因數是。

（歐幾里得演演算法）對要求最大公因數的兩個數a、b，設，先用b除a，得。若，則；若，則再用除b，得.，若，則，若，則繼續用除……如此循環，直到能整除為止。其最後一個非零餘數即為。

這一演演算法的證明如下：

設兩數為，用表示a，b的最大公約數， 為a除以b以後的餘數，輾轉相除法即是要證明。

令，則設，根據前提有

由上，可知c也是r的因數，故可以斷定與n互素【否則，可設，則，則，故a與b最大公因數成為cd，而非c】

所以，繼而。

例：求8251和6105的最大公因數。

考慮用較大數除以較小數，求得商和餘數：

最後除數37是148和37的最大公因數，也就是8251與6105的最大公因數。

約數也叫做因數，是因數的另一個稱呼。

更相減損術出自《九章算術》的一種求最大公約數的演演算法，它原本是為約分而設計的，但它適用於任何需要求最大公約數的場合。其原文為：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”

翻譯成現代語言就是

第一步：任意給定兩個正整數a、b；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。

第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。這個數就是a、b的最大公約數。

例：求98與63的最大公因數。

分析：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：

所以，98和63的最大公約數為7。

註：以上首三個方法同樣適用於求多個自然數的最大公約數

若（其中為兩兩互質得正整數）

則的正約數個數為

一般地，對自然數n進行分解質因數，設n可以分解為

其中是不同的質數，

是正整數，則形如

的數都是n的約數，其中β⑴可取個值：；β⑵可取個值：；β（k）可取個值：.且n的約數也都是上述形式，根據乘法原理，n的約數共有

⑺個。

式⑺即為求一個數約數個數的公式。

國內課本中，最先提到約數這個概念是在小學，而此時還沒學負數。

等到學了負數，一般要直到大學數學系“初等數論”中才嚴格定義約數，那個時候就包括負約數了。

如果並且，則我們說d是a的約數。注意，當且僅當，因此定義約數為非負整數不會失去一般性，只要明白a的任何約數的相應負數同樣能整除a。一個整數a的正約數最小為1，最大為。

105的負約數的和是多少？

105的所有負約數就是105的所有正約數的相反數所組成的集合。

105的正約數有1,3,5,7,15,21,35,105

105的負約數有-1,-3,-5,-7,-15,-21,-35,-105

其和為