微分方程數值解

本書主要介紹了常微分方程和偏微分方程的數值解法，具體包括：數值分析基礎、常微分方程數值解法、橢圓型方程的差分方法、發展方程的差分方法、有限元方法簡介以及有限元方法誤差分析。

本書在編寫過程中注重由淺入深、理論和數值試驗結合；著重培養學生掌握基本的數值格式，並能對模型問題進行數值模擬和對數值結果進行一定的分析。

本書可以作為數學類各專業微分方程數值解課程的教學用書或參考書，對其他理工科學生學習常微分方程和偏微分方程數值解法也具有參考價值。

第一章 數值分析基礎

1.1 一個簡單的遞推格式

1.1.1 0.1不能被雙精度精確表示

1.1.2函數求值

1.1.3 對於初始擾動的分析

1.2 基本迭代格式

1.2.1 不動點迭代

1.2.2 Newton-Raphson方法

1.2.3 Logistic方程

1.3 離散范數和連續范數

1.4 函數的逼近

1.4.1 函數的插值

1.4.2 插值多項式的Newton表示

1.5 數值積分

1.5.1 復化求積公式

1.5.2 Gauss求積公式

1.5.3 自適應Simpson求積公式

第二章 常微分方程數值方法

2.1 常微分方程

2.1.1 線性系統

2.1.2 適定性

2.2 計算格式的導出

2.2.1 數值微分-導數的近似

2.2.2 Euler格式的收斂性

2.2.3 穩定和絕對穩定區域

2.3 高階單步方法

2.3.1 Taylor級數法

2.3.2 Runge-Kutta方法

2.3.3 Runge-Kutta-Fehlberg格式和自適應步長調整

2.3.4 高階單步方法中的基本概念

2.4 線性多步方法

2.4.1 Adams格式

2.4.2 Gear格式（BDF格式）

2.5 線性多步方法的形態分析

2.5.1 局部截斷誤差估計和相容性

2.5.2 線性多步方法的零穩定性

2.5.3 非齊次情形

2.5.4 收斂=穩定+相容

2.5.5 絕對穩定性和絕對穩定區域

2.6 剛性問題

2.7 其他穩定性

2.8 二階系統的求解

2.8.1 Newton-Störmer-Verlet-leapfrog方法

2.8.2 Newmark格式

2.8.3 Runge-Kutta方法

2.8.4 線性多步方法

第三章 橢圓型方程的差分方法

3.1 兩點邊值問題的差分方法

3.1.1 兩點邊值問題

3.1.2 能量意義下的穩定性

3.1.3 三點差分格式

3.1.4 緊緻差分格式

3.1.5 收斂性分析

3.1.6 特徵值問題

3.2 高維情況

3.3 求解器

3.3.1 迭代方法

3.3.2 多重網格

3.3.3 FFT演演算法

3.3.4 區域分解

第四章 發展方程的差分方法

4.1 拋物型方程

4.2 拋物型方程的基本差分格式

4.3 穩定性分析

4.3.1 直接法

4.3.2 分離變數法

4.3.3 傳播因子法

4.3.4 按最大模範數穩定

4.3.5 交替方向方法

4.4 對流方程

4.5 波動方程

第五章 有限元方法簡介

5.1 有限元方法

5.1.1 有限元離散

5.1.2 線性三角形元

5.1.3 單元剛度矩陣和質量矩陣

5.1.4 邊界條件處理

5.2 Lagrange型單元

5.2.1 Lagrange型三角形元

5.2.2 Lagrange型矩形元

5.2.3 有限元定義

5.3 Hermite型單元

5.3.1 Hermite型三角形元

5.3.2 Hermite型矩形元

5.4 數值算例

5.4.1 一維邊值問題

5.4.2 二維邊值問題

5.5 時間相關問題的計算

5.5.1 拋物型方程

5.5.2 雙曲型方程

第六章 有限元方法誤差分析

6.1 變分問題適定性

6.1.1 Sobolev空間初步

6.1.2 Lax-Milgram引理

6.1.3 Poisson方程邊值問題適定性

6.2 有限元誤差估計

6.2.1 有限元逼近

6.2.2-模估計

6.2.3-模估計

6.3其他類型有限元

6.3.1 數值積分的影響

6.3.2 等參有限元

6.3.3 非協調有限元

6.4 自適應有限元方法

6.4.1 后驗誤差分析

6.4.2 自適應演演算法

註：以上目錄見參考資料。