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四捨五入

一種精確度的計數保留法

四捨五入是一種精確度的計數保留法,與其他方法本質相同。但特殊之處在於,採用四捨五入,能使被保留部分的與實際值差值不超過最後一位數量級的二分之一:假如0~9等概率出現的話,對大量的被保留數據,這種保留法的誤差總和是最小的。這也是我們使用這種方法為基本保留法的原因。

應用舉例


例子一:例如π被四捨五入,保留下3.14。但是,有的時候不可以用四捨五入的方法,而要用“進一法”和“去尾法”。四捨五入里的四舍是:1、2、3、4,五入是:5、6、7、8、9。例如,288個學生春遊,45人一輛大巴,算下來是6.4輛大巴,但是必須進一才可以不讓人多出來,不讓車少,因為車的數量不能為小數,所以需要7輛大巴。再例如,1016升汽油,要給汽車加油,20升一輛,平均可加50.8輛,但是必須去尾才可以不讓車多出來,讓油少,因為車的數量不能為小數,所以只可以給50輛汽車加油。
註:數量級:即數字所在位置權值,如3.14159這個數,3的數量級為1(10^0),9的數量級為0.00001(10^-5)。
例子二:在生活、工作中的實際應用——如全年市場份額預估達成為0.7%,但在正式大會秀出時,出於美觀目的,將預估值四捨五入至1%。無論是從說抑或是顯得都會有分量得多。

計算方法


在應用科學計算機進行施工運算時,常遇到一種情形:在答案的整數左邊,有時連著好幾個小數點數字。
如:小邊255 除大邊1005=tan0.2537313。
類似這種情形,如果作為參考用的tan值,經常帶著這些小數點進行大小邊計算,將顯得繁瑣。因此,為適當地去除類似小數點,又不影響實際尺寸的準確性,我在這裡介紹數學 中的四捨五入計演演算法。
通常,木工所接觸的製作圖,都採用公制,且以毫米(mm)為單位,製作的面積從幾十毫米到十多二十米不等,只要配合實際尺寸,對小數點作適當的刪除,又能使誤差不超過一 毫米,就應該施行四捨五入法。應該在哪一位置施行四捨五入呢? 以毫米為單位來說,假如它在第三位,我們就在第四位作四捨五入,先看第四位:如果是4或者比四小,就把它捨去;
如果它是5或者比五大,也把它捨去,但要向它的左邊單位上進1,這種方法就叫四捨五入法。
再舉上面的例子,用tan值乘大邊,以便求出小邊值。假設tan值不變,大邊值改為3000,這時,以毫米為單位來算,它就在第四位,我們就取tan值小數點后的四位數作為運算值就 夠了。第五位是3,因為小於4,所以將它捨去,即:0.2537乘 3000=761.1.答案的小數點這時小於1mm應把它刪去,只取761mm。
但是在四捨五入中,捨去的幾率有九分之四,而進一的幾率有九分之五,兩者不等。故有“四舍六入”的說法,在這之中,若是5需舍入,若前一位數是奇數,則進一,若是偶數,則去尾。

Excel計算


在我們日常的實際工作中,特別是財務計算中常常遇到四捨五入的問題。雖然,Excel的單元格格式中允許定義小數位數,但是在實際操作中我們發現,其實數字本身並沒有真正實現四捨五入。如果採用這種四捨五入的方法,在財務運算中常常會出現誤差,而這是財務運算所不允許的。
在這裡,有簡單可行的方法進行真正的四捨五入。在Excel中,已經提供這方面的函數了,這就是ROUND函數,它可以返回某個數字按指定位數四捨五入后的數字。
例如:
round函數:按指定位數對數字進行四捨五入。如輸入=round(3.158,2)則會出現數字3.16,即按兩位小數進行四捨五入。rounddown函數:按指定位數捨去數字指定位數後面的小數。如輸入=rounddown(3.158,2)則會出現數字3.15,將兩位小數后的數字全部舍掉了。
roundup函數:按指定位數向上舍入指定位數後面的小數。如輸入=roundup(3.158,2)則會出現數字3.16,將兩位小數后的數字舍上去,除非其後為零。
註:其中的3.158可更改為單元格如A1,小數位數也可自行更改。其他的可以照搬。

同型演演算法


四舍六入五成雙是一種精確度的計數保留法。這裡"四"是小於五的意思,"六"是大於五的意思,"五"是舍入位之後的尾數逢五的話看前一位,奇進偶不進。如1.25保留一位小數,因為2是偶數,所以是1.2。又如1.35,因為3是奇數,所以是1.4。
從統計學的角度,"四舍六入五成雙"比"四捨五入"要科學,它使舍入后的結果有的變大,有的變小,更平均。而不是像四捨五入那樣逢五就入,導致結果偏向大數.
例如:1.15+1.25+1.35+1.45=5.2,若按四捨五入取一位小數計算:
1.2+1.3+1.4+1.5=5.4
按"四舍六入五成雙"計算,1.2+1.2+1.4+1.4=5.2,舍入后的結果更能反映實際結果。
C#中,int.ToString("F2")的結果就是按照四舍六入五成雙的規則計算的。其他如Matlab等計算軟體中舍入也大多按此處理。

數據誤差


很多朋友都在使用Excel編輯、處理各種數據報表,在使用過程中往往會發現Excel自動計算的結果與我們自己手動計算的結果會出現一個誤差。
例如Excel工作表中有B2=16.18、C2=12.69,將B2與C2之和乘以0.11,將結果“四捨五入”,保留兩位小數,再將結果乘以3.12,再“四捨五入”保留兩位小數,Excel的計算結果是“9.91”,而我們手工計算的結果是“9.92”。
這裡,之所以會造成計算結果9.91與9.92的不同,是因為Excel運算運用了“四捨五入”。
在設置表格的時候,在“單元格格式”窗口中設置的“小數位數”只能將單元格中的數值“顯示內容”四捨五入,並不能對所存放的“數值”四捨五入。換句話說,顯示內容和實際存放內容(即參與運算的內容)並非完全一致。因此,造成Excel計算結果與實際需求出現誤差的元兇,正是單元格數據的顯示內容與參與計算內容的不一致性。為了避免造成這種誤差,解決方法有:
其一是利用Round函數對小數進行精確的四捨五入,其格式為:round(number,num_digits),其中“number”為需要四捨五入的數字或運算公式,num_digits指定四捨五入的位數。針對本文所述問題,我們只需在D2單元格中輸入“=Round((B2+C2)*0.11,2)”,在“E2”單元格中輸入“=Round(D2*3.12,2)”即可。另外,我們還可以通過Excel進行一下簡單的設置來達到精確計算的目的,點擊Excel菜單欄的“工具/選項”,在彈出的“選項”窗口中切換到“重新計算”選項卡,在“工作簿選項”欄中將“以顯示值為準”複選框打上鉤,點“確定”按鈕即可。