舍入

在對位數較多的數進行計算時，為了方便或由於受到計算工具的限制，需要用位數較少的數來代替（有時按照精確度的要求也不必對全部數字進行計算）。於是，就要按一定的規則去掉一個數的某個有效數字以後的數字，並對剩餘部分進行調整，使得儘可能接近於原來那個數，這種過程稱為舍入。

舍入規則為“0舍1入”，在十進位中通常用四捨五入法，它由以下步驟構成：

（1）確定所需的位數n;

（2）劃去第n位以後的所有數字;

（3）若劃去的第n+1位數字小於5，則保留第n位數字；若大於5，則第n位數字加1;若等於5，則使第n位數字為偶數。

例如：對0.613、1.979、7.105保留三位有效數字，在舍入后，分別為0.61、1.98、7.10。

在其他記數法中，當最後一位有效數字等於或大於基數的一半時，則前一位進一，否則就捨去。此外，有時也採用只舍不入法等規則。

舍入，亦指按上述規則縮減一個數之位數（即截短一個數）的方法。

“四捨五入”就是指在要保留的數位后的一個數位上的數字大於等於5，就除去末尾，向前進1。小於4，就直接去掉。為什麼要發明四捨五入法呢？因為有些運算過程中出現的數過於繁鎖，難記又難算，而這個數簡直像一串數列，在這種情況下，數列最末尾的一個到幾個數對於整上數大小的影響根本微不足道，與其留著，讓它影響記憶（錄），干擾運算，還不如除掉，用零佔位。這樣，既簡便了運算，又方便了記憶（錄），還不大影響數的大小，一舉三得。

四捨五入規則是人們習慣採用的一種數字修約規則。

四捨五入規則的具體使用方法是：

在需要保留有效數字的位次后一位，逢五就進，逢四就舍。

例如：將數字2.1875精確保留到千分位（小數點后第三位），因小數點后第四位數字為5，按照此規則應向前一位進一，所以結果為2.188。同理，將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：

0.53664——0.5366

10.2750——10.28

18.06501——18.07

0.58346——0.5835

16.4050——16.40

27.1850——27.18

按照四捨五入規則進行數字修約時，應一次修約到指定的位數，不可以進行數次修約，否則將有可能得到錯誤的結果。例如將數字15.4565修約為兩位有效數字時，應一步到位：15.4565——15（正確）。如果分步修約將得到錯誤的結果：15.4565——15.457——15.46——15.5——16（錯誤）。

四捨五入修約規則，逢五就進，必然會造成結果的系統偏高，誤差偏大，為了避免這樣的狀況出現，盡量減小因修約而產生的誤差，在某些時候需要使用四舍六入五留雙的修約規則。

有些時候四捨五入會造成較大的誤差，特別是精度要求比較高的計算或者工程測量中，有時會對結果產生較大影響，此外在日常生活中四捨五入可能會造成資金的浪費，影響企業判斷等情況出現，因此出現了一種四舍六入五留雙的修約規則。四舍六入五留雙規則為了避免四捨五入規則造成的結果偏高，誤差偏大的現象出現，一般採用四舍六入五留雙規則。

四舍六入五留雙規則的具體方法是：

（一）當尾數小於或等於4時，直接將尾數捨去。

例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：

0.53664——0.5366

10.2731——10.27

18.5049——18.500.58344——0.5834

16.4005——16.40

27.1829——27.18

（二）當尾數大於或等於6時，將尾數捨去並向前一位進位。

例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：

0.53666——0.5367

8.3176——8.318

16.7777——16.78

0.58387——0.5839

10.29501——10.30

21.0191——21.02

（三）當尾數為5，而尾數後面的數字均為0時，應看尾數“5”的前一位：若前一位數字此時為奇數，

就應向前進一位；若前一位數字此時為偶數，則應將尾數捨去。數字“0”在此時應被視為偶數。

例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：

0.153050——0.1530

12.6450——12.64

18.2750——18.28

0.153750——0.1538

12.7350——12.74

21.845000——21.84

（四）當尾數為5，而尾數“5”的後面還有任何不是0的數字時，無論前一位在此時為奇數還是偶數，也無論“5”後面不為0的數字在哪一位上，都應向前進一位。

例如將下列數字全部修約為四位有效數字，結果為：

0.326552——0.3266

12.73507——12.74

21.84502——21.85

12.64501——12.65

18.27509——18.28

38.305000001——38.31

按照四舍六入五留雙規則進行數字修約時，也應像四捨五入規則那樣，一次性修約到指定的位數，不可以進行數次修約，否則得到的結果有可能是錯誤的。例如將數字10.2749945001修約為四位有效數字時，應一步到位：10.2749945001——10.27（正確）。如果按照四舍六入五留雙規則分步修約將得到錯誤結果：10.2749945001——10.274995——10.275——10.28（錯誤）。

上舍入即取比該值大的最接近的整數，下舍入即取比該值小的最接近的整數。例如2.8上舍入為3，下舍入為2。-2.8上舍入為-2，下舍入為-3。

舍入誤差是指運算得到的近似值和精確值之間的差異。比如當用有限位數的浮點數來表示實數的時候（理論上存在無限位數的浮點數）就會產生舍入誤差。舍入誤差是量化誤差的一種形式。如果在一系列運算中的一步或者幾步產生了舍入誤差，在某些情況下，誤差會隨著運算次數增加而積累得很大，最終得出沒有意義的運算結果。

增加數字位數可以減少可能會產生的舍入誤差，但是位數是有限的，在表示無限浮點數時仍然會產生誤差。在用常規方法表示浮點數的情況下，這種誤差是不可避免的，但是可以通過設置警戒位來減小。

多步舍入會增加舍入誤差，例如數字9.945309在輸入時被舍入到小數點后兩位（9.95），顯示時再舍入到小數點后一位（10.0），舍入誤差是0.054691。如果原來的數只經過一步舍入到小數點后一位（9.9），舍入誤差僅為0.045309。