二項展開式

依據二項式定理對(a+b)進行展開得到的式子

二項展開式是依據二項式定理對(a+b)進行展開得到的式子，由艾薩克·牛頓於1664-1665年間提出。二項展開式是高考的一個重要考點。在二項式展開式中，二項式係數是一些特殊的組合數，與術語“係數”是有區別的。二項式係數最大的項是中間項，而係數最大的項卻不一定是中間項。

目錄

1二項式定理 2理解 3性質

4證明 5例題某項的係數

係數最值項指定項

二項式定理

其中，又有等記法，稱為二項式係數，此係數亦可表示為楊輝三角形。等式的右邊即為的展開式，稱為二項展開式。

理解

將看成個相乘，從每個括弧中取一項 (非即 ) ,相乘的所有單項式合併同類項得到的，按取的個數分為類，不取的是取 1 個的是，...，取個的是，...，取個的是.

注意：

（1）選取性，二項式的兩項怎樣選取 (各取幾個) 才能構成所求的項；

（2）有序性，的展開式第項是取個 (同時取個 )，這裡的和不能互換

（3）項、項的係數與二項式係數的區別

某項要把這一項全部寫出來；某項的係數只寫這一項的係數，不帶字母 (即把每個字母當作數 1) ；某項的二項式係數就是相應的組合數

性質

（1）項數：n+1項

（2）第k+1項的二項式係數是

（3）在二項展開式中，與首末兩端等距離的兩項的二項式係數相等。

（4）如果二項式的冪指數是偶數，中間的一項的二項式係數最大。如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的的二項式係數最大，並且相等。

（5）二項式通項：是第項。

證明

這裡，採用數學歸納法對二項式定理進行證明.

當時，

假設二項展開式在時成立，

設，則：

（取出的項）

（設）

（取出項）

（兩者相加）

（套用帕斯卡法則）

等式也成立

結論：對於任意自然數n，等式均成立。

例題

某項的係數

求二項展開式的某項或某項的係數是高考數學的一個基本知識點，每年的高考題都有一定的題出現。

例1. 求的展開式中的係數。

解：要取2個，故的係數是例2. 求的展開式中的係數

解：要取4個，故的係數是

係數最值項

例. 求展開式中係數最大項和最小項

解：通項=

通項的係數=

設係數最大，則解得：因為，所以故係數最大項為和,由於最大項在中間取得，所以最小項在兩端，計算得：故係數最小項為

指定項

求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行。

例. 展開式中的常數項

解：展開式的通項:，

令，解得故常數項為：

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