拉格朗日插值法

在數值分析中，拉格朗日插值法是以法國十八世紀數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。許多實際問題中都用函數來表示某種內在聯繫或規律，而不少函數都只能通過實驗和觀測來了解。如對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值，拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰好在各個觀測的點取到觀測到的值。這樣的多項式稱為拉格朗日（插值）多項式。數學上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數。拉格朗日插值法最早被英國數學家愛德華·華林於1779年發現，不久后（1783年）由萊昂哈德·歐拉再次發現。1795年，拉格朗日在其著作《師範學校數學基礎教程》中發表了這個插值方法，從此他的名字就和這個方法聯繫在一起。

一般地，若已知在互不相同個點 處的函數值( 即該函數過這個點），則可以考慮構造一個過這個點的、次數不超過n的多項式,使其滿足：

要估計任一點則可以用的值作為準確值的近似值，此方法叫做“插值法”。

稱式為插值條件（準則），含的最小區間，其中。

滿足插值條件的、次數不超過n的多項式是存在而且是唯一的。

在平面上有共n個點，現作一條函數使其圖像經過這n個點。

作法：設集合是關於點的角標的集合， ，作n個多項式。對於任意，都有

使得

是次多項式，且滿足並0且。

最後可得。

形如上式的插值多項式稱為拉格朗日（Lagrange）插值多項式。

例如：當時，上面的公式可簡化為：這是一個過4個點的唯一的三次多項式。