不動點

取淺盒紙，紙恰蓋盒底。紙盒底配。紙拿，隨揉球，球扔盒。拓撲證，管球怎揉，管落盒底，揉球紙，恰盒底配。

具找，題。

紙揉球，投紙盒底影。紙盒底影區域肯紙盒底。，取【紙盒底影】，肯紙團某團。（整底板整紙團，板肯紙團）

假如去掉紙團的其他部分，那一小團部分同樣可以在紙盒底面投影，而且投影肯定比剛才的大投影小，而且在它之內。（因為它是在整個紙團之內）。那麼，取這一小片投影（注意這片影子肯定是連續的不會斷開，因為紙沒有撕裂），當它再往紙團里對應的時候，肯定對應於其中更小的一團。我們再次把多餘的紙去掉。

就是說：

整個紙盒對應於紙團

紙盒【在紙團投影內的部分】對應於紙團內的一小塊

紙盒【一小塊的投影的部分】對應於剛才那一小塊內的更小一塊

紙盒【更小塊投影的部分】對應於更小塊中的更更小一塊

…………………………

不斷地去掉紙無限次，最後紙團只剩下了一個點，它的投影就對應於紙盒的一個點。

例如，定義在實數上的函數f，

，

則2是函數f的一個不動點，因為。

也不是每一個函數都具有不動點。例如就沒有不動點。因為對於任意的實數，x永遠不會等於。這個例子的情況是，這個函數的圖像與那根直線是一對平行線。

1 利用f(x)的不動點解方程（牛頓切線法）

2 利用f(x)的不動點求函數或多項式的解析式

3 利用f(x)的不動點討論n-周期點問題

4 求解數列問題（求解一階遞歸數列的通項公式）

5 求解一階遞歸數列的極限

這是利用不動點開立方（牛頓切線法）的例子

開方：

公式：設，開3次方

5介於至之間（）

可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取2.0.按照公式：

第一步：。即，，，輸入值大於輸出值，負反饋

，取2位數值，即1.7。

第二步：。

即，，，輸入值小於輸出值正反饋

。取3位數，比前面多取一位數。

第三步：.輸入值大於輸出值，負反饋

第四步：.輸入值小於輸出值正反饋

這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。.

當然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一個。

對於某些特定形式的數列遞推式可用不動點法來求。