可解群

在數學的歷史中，群論原本起源於對五次方程及更高次方程無一般的公式解之證明的找尋，最終隨著伽羅瓦理論的提出而確立。可解群的概念產生於描述其根可以只用根式(平方根、立方根等等及其和與積)表示的多項式所對應的自同構群所擁有的性質。

一個群被稱為可解的，若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說，若其降正規列

G▷G(1)▷G(2)▷▪▪▪▪▪▪▪▪▪▪

之中，每一個子群都會是前一個的導群，且最後一個為G的當然子群{1}。上述兩個定義是等價的，對一個群H及H的正規子群N，其商群H/N為可交換的當且僅當N包含著H(1)。

對於有限群，有一個等價的定義為：一可解群為一有著其商群皆為質數目的循環群之合成列的群。此一定義會等價是因為每一個簡單阿貝爾群都是有質數目的循環群。若爾當-赫爾德定理表示若一個合成列有此性質，則其循環群即會對應到某個體上的n個根。但此一定義的等價性並不必然於無限群中亦會成立：例如，因為每一個在加法下的整數群Z的非當然子群皆同構於Z本身，它不會有合成列，但是其有著唯一同構於Z的商群之正規列{0,Z}，證明了其確實是可解的。

和喬治・波里亞的格言“若有一個你無法算出的問題，則會有的你可以算出的較簡單的問題”相一致的，可解群通常在簡化有關一複雜的群的推測至一系列有著簡單結構－阿貝爾群的群的推測有著很有用的功用。

所有的阿貝爾群都是可解的－其商群總會是可交換的，若A為可交換的。但非阿貝爾群則不一定都是可解的。

更一般地，所有冪零群都是可解的。特別地是，所有的有限p-群都是可解的，因為所有的有限p-群都會是冪零的。

可解但不為冪零的群的一個小例子為對稱群S3。實際上，當最小的簡單非可貝爾群為A5(5度的交錯群)時，它允許每一個目小於60的群皆為可解的。

群S5不是可解的－它有一合成列(且若爾當-赫爾德定理表示每個其他的合成列都會等價於此一合成列)，給出了同構於A5及C2的商群；而A5為非可換的。廣義化此一論述，結合An在時為Sn的正規、最大且非阿貝爾簡單子群的事實，可知的所有Sn皆不可解，此亦為證明每一個的n次多項式都不可以以方根得解的關鍵步驟。

著名的范特-湯普遜定理敘述著，每一個奇數目的有限群皆是可解的。特別地是，此定理表示，若一有限群為簡單的，其必為質數循環或有偶數目。

可解性的性質在某一意義上是可繼承的，如下：

若G為可解的，且H為G的子群，則H也是可解的。

若G是可解的，且H為G的正規子群，則也是可解的。

若G是可解的，且存在一G滿射至H的同態，則H也是可解的。

若H及 為可解的，則G也是可解的。

若G及H為可解的，則其直積也是可解的。

超可解群

做為可解性的加強版，一個群G被稱為超可解的，若它有一其商群皆為循環群的不變正規列；換句話說，if it is solvable with each Ai also being a normal subgroup of G，且每個都不只是可交換而已，且也是循環的(可能為無限目)。因為一正規列在定義中有有限的長度，所以不可數阿貝爾群不會是超可解的。實際上，所有的超可解群皆為有限產生群，且一個阿貝爾群為超可解的當且僅當其為有限產生的。

若限制在有限產生群中，將可以有下列的排序：

S5不可解性證明

證 若S5是可解的，則存在正規子群N使可交換。設f為S5到的自然同態，考察三項循環，再取另兩元d，e。令，。的f像為，由S5/N可交換知，即有。故N包含所有三輪換，同理其正規群列均包含三輪換，所以不可能結束於1。（此證明事實上也給出了5次以上的證明）