弧長

在研究曲線時，我們總引進弧長作為參數，一方面是由於曲線的一般參數 t 不具有任何幾何意義，另一方面，因為弧長是曲線的剛體運動不變數，用弧長作參數，可大大簡化公式，並較容易導出其他不變數。

設為連續曲線(如圖1)。它的端點分別為A，B，在A，B之間任取n-1個點：。為方便計，把A寫成，把B寫成。它們將分成n段。設各點對應的參數依次為。用直線段連結相鄰的點，得到一折線形，它的長：當分點無限增加時，若σ趨於一個與分點的選擇無關的確定極限，則稱此極限為 曲線段AB的弧長。

曲線有長度的充要條件是其坐標函數為有界變差函數。特別，微分幾何中考慮的類曲線都有長度。曲線Γ在之間的長度可用公式：表示。弧長稱為曲線的 自然參數。

在取自然參數時，曲線的方程：此時，有 (表示對弧長s的 導矢)，反之，若，則t可視為曲線從某點量起的弧長參數。

下面我們用微分元素法計算曲線的長度。

設平面曲線C的參數表示為

其中與連續可導，且 ，這樣的稱為 光滑曲線，如圖2.

顯然這時曲線的長度L對於區間可加．且對任意的與小區間相應的弧長

故由微分元素法可知曲線總長為

同樣，對於空間光滑曲線曲線總長為若平面光滑曲線C被表達成了直角坐標形式

則C也有參數表示

故由公式(1)可知這時

例1 證明：圓的周長是。

證明: 由對稱性可知所求周長是第一象限部分長度的4倍，在第一象限中圓的參數方程是

故由公式(1)得圓的周長

半徑為R的圓中，的圓心角所對弧長的計算公式為