離散卷積

“離散卷積”是兩個離散序列和之間按照一定的規則將它們的有關序列值分別兩兩相乘再相加的一種特殊的運算。具體可用公式表示為

其中 就是經過卷積運算以後所得到的一個新的序列。根據上式，在運算過程中，要使序列 “不動”，並將自變數改為i,以表示與卷積結果的自變數n有所區別。而將另外一個序列的自變數改為i以後，再取它對於縱坐標的“鏡像”（式中的“-”號即是此意）。為求兩者的卷積 ，先將 在相同的i下與的每一個值兩兩相乘再相加，就得到了 時的卷積值 。接下來，將 向右移動自變數的一個間隔，構成 ，同樣在相同的i下與的各個值兩兩相乘再相加，就得到卷積值，……，如此反覆，直到所有的序列值都算完為止。其中要注意，對於 的卷積值 ，要把 向右移，而對於 的卷積值，要把向左移。

為了求

，

其餘

與

其餘

的卷積，按以上方法就得到卷積y（n）的各個值

, 其餘

在此情況下，x（n）及h（n）分別有6個和3個點（離散值的個數），則卷積值y（n）有個點。一般情況下，當x(n)及h（n）的“長度”（離散值的個數）分別為 及 時，卷積y（n）的長度則為.

在工程上離散卷積有著廣泛的應用。例如為了將數字信號進行濾波，可以將表示成離散序列的該信號x（n）與數字濾波器的衝激響應h（n）進行卷積。