等價類
等價類
等價類（Equivalence class）在數學中，給定一個集合 X 和在 X 上的一個等價關係 ~，則 X 中的一個元素 a 的等價類是在 X 中等價於 a 的所有元素構成的集合： a = X ; X ~ a。這種運算可以(實際上非常不正式的)被認為是輸入集合除以等價關係的活動，所以名字“商”和這種記法都是模仿的除法。這個等價關係叫做 f的函數的核核。* 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
設R為非空集合A上的等價關係則稱[x]R為x關於R的等價類，簡稱為X的等價類，簡記為[x]
等價類的概念有助於從已經構造了的集合構造集合。在 X 中的給定等價關係 ~ 的所有等價類的集合表示為 X / ~ 並叫做 X 除以 ~ 的商集。商集類似於除法的一個方面是如果 X 是有限的並且等價類都是等勢的，則 X/~ 的序是 X 的序除以一個等價類的序的商。商集要被認為是帶有所有等價點都識別出來的集合 X。
對於任何等價關係，都有從 X 到 X/~ 的一個規範投影映射 π，給出為。這個映射總是滿射的。在 X 有某種額外結構的情況下，考慮保持這個結構的等價關係。接著稱這個結構是良好定義的，而商集在自然方式下繼承了這個結構而成為同一個範疇論 (數學)範疇的對象；從 a 到 a 的映射則是在這個範疇內的態射滿態射。參見同餘關係。
* 如果 X 是轎車的集合，而 ~ 是“顏色相同”的等價關係，則一個特定等價類由所有綠色轎車組成。 自然的被認同於所有轎車顏色的集合。
* 考慮在整數集合 Z 上的“模 2”等價關係: 當且僅當 是偶數。這個關係精確的引發兩個等價類: 0 由所有偶數組成，1 由所有奇數組成。在這個關係下 7 9 和 1 都表示 的同一個元素。
* 有理數可以構造為整數的有序對 (a,b) 的等價類的集合，b 不能為零，這裡的等價關係定義為
當且僅當 。
:這裡的有序對 (a,b) 的等價類可以被認同於有理數 a/b。
* 任何函數 f: X → Y 定義在 X 上的等價關係，通過 X1 ~ X2 當且僅當。X 的等價類是在 X 中被映射到 f(X) 的所有元素的集合，就是說，類 X 是f(X) 的像逆像。這個等價關係叫做 f的函數的核核。
* 給定群 G 和群子群 H，我們可以定義在 G 上的等價關係，通過 X ~ y 當且僅當。這個等價類叫做 H 在 G 中的右陪集；其中之一是 H 自身。它們都有同樣數目的元素(在無限集合無限 H 的情況下是勢)。如果 H 是群正規子群，則所有陪集的集合自身是在自然方式下的一個群。
* 所有群都可以劃分成叫做共軛類的等價類。
* 連續函數連續映射 f的同倫類是所有同倫於 f的所有映射的等價類。
* 在自然語言處理中，等價類是對一個個人、位置、事物或事件的所有提及的要麼真實要麼虛構的集合。例如，在句子“GE 股東將投票公司傑出的 CEO Jack Welch 的繼任者”。“GE”和“公司”是同義的，所以構成一個等價類。對“GE 股東”和“Jack Welch”有單獨的等價類。