一一對應

在數學中，雙射，雙射函數或一對一對應是兩組的元素之間的函數，其中一組的每個元素與另一組的元素恰好配對，另一組的每個元素與第一組的正好一個元素也恰好配對。沒有不配對的元素。在數學術語中，雙射函數是集合X與集合Y的一一映射，也叫一一對應。

對於X和Y之間的配對（其中Y不需要與X不同）稱為對應，以下四個屬性必須成立：

（1）X的每個元素必須與Y的至少一個元素配對；

（2）沒有X的元素可以與Y的多於一個元素配對；

（3）Y的每個元素必須與X的至少一個元素配對；

（4）Y的任何元素都不能與X的多個元素配對。

滿足屬性（1）和（2）意味著對應是域X的函數。更常見的是將屬性（1）和（2）寫為單個語句：X的每個元素與正好一個元素配對滿足屬性（3）的函數被稱為“到Y”，稱為拋射（或投射函數）。滿足屬性（4）的函數被稱為“一對一函數”，稱為或注入函數。使用這個術語，對應是一種既可以是一種輸出，也可以是一種注入的功能，或者使用其他單詞，對應是“一對一”和“上”的功能。

考慮棒球或板球隊的擊球陣容（或任何運動隊的所有球員的列表，每個球員在陣容中持有特定的位置）。組X將是球隊中的球員（在棒球的情況下大小為九），組Y將是擊球順序（1st，2nd，3rd等）的位置。由此給出“配對”玩家在這個順序是在什麼位置。由於每個玩家都在列表中的某個地方，所以屬性（1）是滿足的。屬性（2）是滿足的，因為沒有玩家在命中的兩個（或更多）位置。屬性（3）表示，對於每個職位，有一些球員在這個位置擊球，而屬性（4）則指出，兩名或兩名以上的選手不會在列表中同一位置擊球。

在教室里有一定數量的座位。一群學生進入房間，老師要求他們坐下。在房間周圍快速瀏覽之後，老師聲明，一組學生和一組座位之間存在雙向偏差，每個學生與他們所在的座位配對。老師為了達成這個結論而觀察到了什麼是：

（1）每個學生都坐在座位上（沒有人站立）；

（2）沒有學生在一個以上的座位上；

（3）每個座位都有人坐在那裡（沒有空座）；

（4）沒有座位上有不止一名學生。

教練得出的結論是，與學生一樣多的座位，而不必計算任何一套。

具有域X（以功能符號表示的）的雙射f也定義了從Y開始並轉到X（通過轉動箭頭）的關係。對於任意函數“轉動箭頭”的過程通常不產生函數，但是對應的屬性（3）和（4）表示該反向關係是域Y的函數。此外，屬性（1）和（2）然後說這個反函數是一個輸出，一個注入，即反函數存在，也是一個雙射。具有反函數的函數據說是可逆的。當且僅當它是雙向的時候，函數是可逆的。

以簡明的數學符號表示，當且僅當滿足條件時，函數是對應

對於Y中的每個y，在x中存在唯一的x，其中。

繼續使用棒球擊球陣容示例，正在定義的功能以輸入方式輸入玩家之一，並以擊球順序輸出該玩家的位置。由於這個功能是一個雙射，它具有一個反向功能，它將擊球順序中的位置作為輸入，並輸出將在該位置擊球的玩家。

如果X和Y是有限集合，那麼當且僅當X和Y具有相同數量的元素時，兩個集合X和Y之間存在對應。實際上，在公理集理論中，這被認為是“相同數量的元素”（均等）的定義，並將這個定義推廣到無限集，導致基數的概念，一種區分無限集的各種大小的方法。

一一對應的概念概括為部分功能，即將其稱為部分雙射。這種原因是（適當的）部分功能對於其一部分域已經是未定義的；因此沒有強制性的理由將其逆向約束為總功能，即在其域上的任何地方都被定義。給定基集合上的所有部分雙射的集合稱為對稱反半群。

定義相同概念的另一種方式是說，從A到B的部分對應是任何關係R（其證明是部分功能），其特徵在於R是對應f的圖：，其中A'是A的子集，B'是B的子集。

當部分對應處於同一組時，有時稱為一對一部分變換。一個例子是簡單地在複雜平面上定義的莫比斯變換，而不是完成擴展的複雜平面。