反函數
數學定理
一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y=f^(-1)(x) 。反函數y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數就是對數函數與指數函數。
一般地，如果x與y關於某種對應關係f（x）相對應，y=f（x），則y=f（x）的反函數為x=f(y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函數(默認為單值函數）的條件是原函數必須是一一對應的（不一定是整個數域內的）。注意：上標"−1"指的並不是冪。
設函數y=f(x)的定義域是D，值域是f(D)。如果對於值域f(D)中的每一個y，在D中有且只有一個x使得f(x)=y，則按此對應法則得到了一個定義在f(D)上的函數，並把該函數稱為函數y=f(x)的反函數，記為由該定義可以很快得出函數f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函數的值域和定義域，並且的反函數就是f，也就是說，函數f和互為反函數，即：
反函數與原函數的複合函數等於x，即：
習慣上我們用x來表示自變數，用y來表示因變數，於是函數y=f(x)的反函數通常寫成。
例如，函數 的反函數是。
相對於反函數y=(x)來說，原來的函數y=f(x)稱為直接函數。反函數和直接函數的圖像關於直線y=x對稱。這是因為，如果設(a,b)是y=f(x)的圖像上任意一點，即b=f(a)。根據反函數的定義，有a=(b)，即點(b,a)在反函數y=f(x)的圖像上。而點(a,b)和(b,a)關於直線y=x對稱，由(a,b)的任意性可知f和關於y=x對稱。
於是我們可以知道，如果兩個函數的圖像關於y=x對稱，那麼這兩個函數互為反函數。這也可以看做是反函數的一個幾何定義。
在微積分里，(x)是用來指f的n次微分的。
若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的（invertible）。
一函數f若要是一明確的反函數，它必須是一雙射函數，即：
● （單射）陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次：不然其反函數將必須將元素映射到超到一個的值上去。
● （滿射）陪域上的每一元素都必須被f映射到：不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。
若f為一實變函數，則若f有一明確反函數，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線 必對所有實數k，通過且只通過一次。
定理：嚴格單調函數必定有嚴格單調的反函數，並且二者單調性相同。
在證明這個定理之前先介紹函數的嚴格單調性。
設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點和，當<時，有<，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增；當<時，有>，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減。
證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由於f的嚴格單增性，對D中任一x'x，都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個，根據反函數的定義，f存在反函數。
任取f(D)中的兩點和，設<。而因為f存在反函數，所以有=()，=()，且、∈D。
若此時≥，根據f的嚴格單增性，有≥，這和我們假設的<矛盾。
因此<，即當y1
（2）函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是一一映射；
如果f在D上嚴格單減，證明類似。
（1）函數f(x)與它的反函數(x)圖象關於直線y=x對稱；
（3）一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致；
（4）大部分偶函數不存在反函數（當函數y=f(x)，定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數），則函數f(x)是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0} ）。奇函數不一定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。
（5）一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性；
（6）嚴增（減）的函數一定有嚴格增（減）的反函數；
（7）反函數是相互的且具有唯一性；
（8）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）；
（9）反函數的導數關係：如果x=f(y)在開區間I上嚴格單調，可導，且f'(y)≠0，那麼它的反函數y=(x)在區間S={x|x=f(y),y∈I }內也可導，且：
（10）y=x的反函數是它本身。
反函數的符號記為(x)，在中國的教材里，反三角函數記為arcsin、arccos等等，但是在歐美一些國家，sinx的反函數記為(x)。
表示1/x，那麼(x)與這是否有些關係呢？下面舉幾個例子來說明這點。當然，(x)肯定和1/f(x)不等，但是確實有與之很相近的性質。
為了好看以及對比，我有時會把f(x)寫成f對比，我把我想各位應該很好理解，反函數的反函數當然就是原函數，寫成數學語言就是=f。看看，這是不是有點像指數的運演演算法則：1/=x呢？
如果函數x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f '(y)不等於零，則它的反函數y=f(x)在區間 內也可導，且 或。
用自然語言來說就是，反函數的導數，等於直接函數導數的倒數。這話有點繞，不過應該能讀懂，這個似乎就進一步揭示了反函數符號的意義。
在這裡要說明的是，y=f(x)的反函數應該是x=(y)。只不過在通常的情況下，我們將x寫作y，y寫作x，以符合習慣。所以，雖然反函數和直接函數不互為倒數，但是各自導函數求出后，二者卻是互為倒數。
這個內容屬於高等數學的內容了。大夥想想函數裡面最簡單最基本的函數是什麼函數？不用說，肯定就是我們的恆等函數y=x，這就和我們數字裡面的1一般地位，所以，我們記恆等函數為“1x”。
數字的基本運算就是加減乘除，而函數也有運算，雖然也有加減乘除，但是屬於函數自己的，就是複合與反函數。我們知道在實數里，x與1/x的乘積等於1，在函數的複合運算里，也有類似的性質，函數f和g的複合記為f○g，那麼下面的性質成立：○f=1x；1x○f=f○1x=f。
這第一個式子已經說明很多問題。實際上，這些都是屬於高等代數的內容，在每一個封閉的系統里，都有一個“單位1”，都有自己的運演演算法則，函數里的就是1x，實數里的就是數字1等等。要深刻理解這些，也只有大家接觸群論以後才會深入理解。這裡也只是做點皮毛而已。我將在後面另起一文，介紹函數的“冪”的概念，就如同數的冪一樣。
（1）在函數x= (y)中，y是自變數，x是函數，但習慣上，我們一般用x表示自變數，用y 表示函數，為此我們常常對調函數x=(y)中的字母x,y，把它改寫成y=(x)，今後凡無特別說明，函數y=f(x)的反函數都採用這種經過改寫的形式。
⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義. 從反函數的定義可知，對於任意一個函數y=f(x)來說，不一定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=(x)，那麼函數y=(x)的反函數就是y=f(x)，這就是說，函數y=f(x)與y= (x)互為反函數。
⑷ 從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f (x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f (x)的值域；函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f (x)的定義域（如下表）：
函數：y=f(x)；
反函數：y=(x)；
定義域： A，C；
值域： C，A；
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：
若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域上的“一一映射”，那麼由f的“逆”映射所確定的函數y=(x)就叫做函數y=f(x)的反函數. 反函數y=(x)的定義域、值域分別對應原函數y=f(x)的值域、定義域.。開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為： (x)=x/2-3.
有時是反函數需要進行分類討論，如：f(x)=x+1/x，需將x進行分類討論：在x大於0時的情況，x小於0的情況，多是要注意的。
一般分數函數y=(ax+b)/(cx+d)（其中ad≠bc）的反函數可以表示為y=(b-dx)/(cx-a)，這可以通過簡單的四則運算來證明。
基本信息
目錄