反比例函數

反比例函數

反比例函數的圖像屬於以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線(hyperbola),反比例函數圖象中每一象限的每一條曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交(y≠0)。

一般地,如果兩個變數x、y之間的關係可以表示成y=k/x (k為常數,k≠0)的形式,那麼稱y是x的反比例函數。因為y=k/x是一個分式,所以自變數X的取值範圍是X≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x^(-1)。表達式為:x是自變數,y是因變數,y是x的函數

定義


一般的,如果兩個變數x,y之間的關係可以表示成 (k為常數,k≠0,x≠0),其中k叫做反比例係數,x是自變數,y是x的函數,x的取值範圍是不等於0的一切實數,且y也不能等於0。k>0時,圖象在一、三象限。k<0時,圖象在二、四象限。k的絕對值表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積。

表達式


x是自變數,y是因變數,y是x的函數
(即:y=kx^-1)
(k為常數且k≠0,x≠0)
若此時比例係數為:
自變數的取值範圍
① 在一般的情況下 , 自變數 x 的取值範圍可以是不等於0的任意實數。
② 函數 y 的取值範圍也是任意非零實數。
解析式
其中x是自變數,y是x的函數,其定義域是不等於0的一切實數,
即 {x|x≠0,x屬於R這個範圍。R是實數範圍。也就是x是實數}。
下面是一些常見的形式:y*x=-1,y=x^(-1)*k(k為常數(k≠0),x不等於0)

函數圖象


當k>0時,兩支曲線分別位於第一、三象限內;當k<0時,兩支曲線分別位於第二、四象限內,兩個分支無限接近x和y軸,但永遠不會與x軸和y軸相交.
圖象畫法
1)列表
x...-3-2-11234...
y...-4-6-1212643...
2)在平面直角坐標系中標出點。
3)用平滑的曲線連接點。
1.當K>0時,在圖象所在的每一象限內,Y隨X的增大而減小。
2.當K<0時,在圖象所在的每一象限內,Y隨X的增大而增大。
當兩個數相等時那麼曲線呈彎月型。
k的意義及應用
過反比例函數( )圖象上任意一點P(x,y),作兩坐標軸的垂線,兩垂足、原點、P點組成一個矩形,矩形的面積為。過反比例函數圖象一點,作任一坐標軸的垂線,並連接原點,圍成的三角形的面積為。
研究函數問題要透視函數的本質特徵。反比例函數中,比例係數k有一個很重要的幾何意義,那就是:過反比例函數圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN,垂足為M、N則矩形PMON的面積為。
所以,對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線,它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。這個常數是k的絕對值。在解有關反比例函數的問題時,若能靈活運用反比例函數中k的幾何意義,會給解題帶來很多方便。

函數性質


合併圖冊
合併圖冊

單調性

當k>0時,圖象分別位於第一、三象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而減小;
當k<0時,圖象分別位於第二、四象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而增大。
k>0時,函數在x<0上同為減函數、在x>0上同為減函數;k<0時,函數在x<0上為增函數、在x>0上同為增函數。

相交性

因為在 (k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交,只能無限接近x軸,y軸。

面積

在一個反比例函數圖像上任取兩點,過點分別作x軸,y軸的平行線,與坐標軸圍成的矩形面積為|k|,
反比例函數上一點 向x 、y 軸分別作垂線,分別交於y軸和x軸,則QOWM的面積為|k|,則連接該矩形的對角線即連接OM,則RT△OMQ的面積=½|k|。

圖像表達

反比例函數圖象不與x軸和y軸相交的漸近線為:x軸與y軸。
k值相等的反比例函數圖象重合,k值不相等的反比例函數圖象永不相交。
|k|越大,反比例函數的圖象離坐標軸的距離越遠。

對稱性

反比例函數圖象是中心對稱圖形,對稱中心是原點;反比例函數的圖象也是軸對稱圖形,其對稱軸為 y=x或y=-x;反比例函數圖象上的點關於坐標原點對稱。
反比例函數
反比例函數
圖象關於原點對稱。若設正比例函數y=mx與反比例函數 交於A、B兩點(m、n同號),那麼A B兩點關於原點對稱。
反比例函數關於正比例函數y=±x軸對稱,並且關於原點中心對稱。

應用舉例


例1

反比例函數圖象上有一點P(m, n)其坐標是關於t的一元二次方程 t^2+3t+k=0的兩根,且P到原點的距離為根號13,求該反比例函數的解析式.
分析:
要求反比例函數解析式,就是要求出k,為此我們就需要列出一個關於k的方程.
解:∵ m, n是關於t的方程 的兩根
∴ m+n=-3,mn=k,
又∵P到原點的距離為根號13
m^2+n^2=13, m+n=-3;
∴ (m+n)^2-2mn=13, m+n=-3;
∴ 9-2k=13
∴ k=-2
∴該反比例函數的解析式為y=-2/x.

例2

直線與位於第二象限的雙曲線 相交於A、A1兩點,過其中一點A向x、y軸作垂線,垂足分別為B、C,矩形ABOC的面積為6,求:
(1)求雙曲線的解析式
分析:矩形aboc的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段,設A點坐標為(m,n),則AB=|n|, AC=|m|,
根據矩形的面積公式知|m·n|=6.
由已知條件知,該雙曲線位於第二、四象限,因此,A點坐標值異號,
即雙曲線的解析式為xy=-6.例3
已知一次函數y=-x+6和反比例函數 y=x/k(k≠0)
(2)k滿足什麼條件時,這兩個函數在同一坐標系中的圖像有兩個交點?
(3)當圖像有兩個交點時(設為A和B),判斷∠AOB是銳角、鈍角還是直角?說明理由。解(1)一次函數y=-x+6和反比例函數y=x/k(k不等於零)有兩個交點,即
化簡的有兩個交點 則方程有兩個不同的解
即所以k<9且k不等於0
(2)當0

例3

已知函數.
(1)當m為何值時,y是x的正比例函數?
(2)當m為何值時,y是x 的反比例函數?
解(1)正比例函數則x次數是1
(m-2)(m+1)=0
m=2,m=-1
係數不等於0
m-1≠0
所以m=2,m=-1
(2)反比例函數則x次數是-1
m(m-1)=0
m=0,m=1
係數不等於0
m-1≠0
所以捨去m=1
因此m=0

例4

一矩形的面積為24,則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關係是什麼?請寫出函數表達式,若要求矩形的各邊長均為整數,請畫出所有可能的的矩形。
解 面積xy=24
函數表達式(x>0)
矩形的各邊長均為整數
可以取x=1,2,3,4,6,8,12,24

知識與概念


概念理解

形如 (k為常數且k≠0)的函數,叫做反比例函數。
自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數。
反比例函數圖象性質:反比例函數的圖象為雙曲線。
由於反比例函數屬於奇函數,有對稱中心,圖象關於原點對稱。
另外,從反比例函數的解析式可以得出,在反比例函數的圖象上任取一點,向兩個坐標軸作垂線,這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值,為∣k∣。
如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函數圖象。
當K>0時,反比例函數圖象經過一,三象限,是減函數
當K<0時,反比例函數圖象經過二,四象限,是增函數
反比例函數圖象只能無限趨向於坐標軸,無法和坐標軸相交。

重點知識

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐標軸的垂線段,這兩條垂線段與坐標軸圍成的矩形的面積為|k|。
2.對於雙曲線,若在分母上加減任意一個實數m(m為常數),就相當於將雙曲線圖象向左或右平移m個單位。(加一個數時向左平移,減一個數時向右平移)

延伸


設n為正整數,則n的所有取值所對應的函數 交於(1,1)和(-1,-1),且當n越大並且x>1時,,圖像離坐標軸近;當n越大並且0x時,圖像離坐標軸近。
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