一次函數

“函數”一詞最初是由德國的數學家萊布尼茨在17世紀首先採用的，當時萊布尼茨用“函數”這一詞來表示變數x的冪，即，，….接下來萊布尼茨又將“函數”這一詞用來表示曲線上的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等等所有與曲線上的點有關的變數。就這樣“函數”這詞逐漸盛行。

在中國，古時候的人將“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，清代數學家、天文學家、翻譯家和教育家，近代科學的先驅者李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數。”中國的古代人還用“天、地、人、物”4個字來表示4個不同的未知數或變數，顯然，在李善蘭的這個定義中的含義就是“凡是公式中含有變數x，則該式子叫做x的函數。”這樣，在中國“函數”是指公式里含有變數的意思。

瑞士數學家雅克·柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數定義.1718年，雅克·柏努意的弟弟約翰·柏努意給出了函數了如下的函數定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函數。換句話說，由x和常量所構成的任一式子都可稱之為關於x的函數。

1775年，歐拉把函數定義為：“如果某些變數：以某一種方式依賴於另一些變數。即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函數.”由此可以看到，由萊布尼茲到歐拉所引入的函數概念，都還是和解析表達式、曲線表達式等概念糾纏在一起。

首屈一指的法國數學家柯西引入了新的函數定義：“在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其它變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為‘自變數’，其它各變數則稱為‘函數’”.在柯西的定義中，首先出現了“自變數”一詞。

1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函數的定義：“x的函數是這樣的一個數，它對於每一個x都有確定的值，並且隨著x一起變化。函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函數的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的”.這個定義指出了對應關係。即條件的必要性，利用這個關係以求出每一個x的對應值。

1837年德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關係是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對於x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數。”

德國數學家黎曼引入了函數的新定義：“對於x的每一個值，y總有完全確定了的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函數。”

上面函數概念的演變，我們可以知道，函數的定義必須抓住函數的本質屬性，變數y稱為x的函數，只須有一個法則存在，使得這個函數取值範圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。

由此，就有了我們課本上的函數的定義：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變數x與y，並且對於x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那麼我們就說x是自變數，y是x的函數。

一次函數有三種表示方法，如下：

1、解析式法

用含自變數x的式子表示函數的方法叫做解析式法。

2、列表法

把一系列x的值對應的函數值y列成一個表來表示的函數關係的方法叫做列表法。

3、圖像法

用圖象來表示函數關係的方法叫做圖象法。

一次函數的解析式為：

其中m是斜率，不能為0；x表示自變數，b表示y軸截距。且m和b均為常數。先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知的斜率，從而得出解析式。該解析式類似於直線方程中的斜截式。

1. y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（k≠0) （k不等於0，且k，b為常數）。

2. 當x=0時，b為函數在y軸上的交點，坐標為(0,b)。

當y=0時，該函數圖象在x軸上的交點坐標為。

3. k為一次函數y=kx+b的斜率，k=tanθ(角θ為一次函數圖象與x軸正方向夾角，θ≠90°)。

4. 當b=0時(即 y=kx)，一次函數圖象變為正比例函數，正比例函數是特殊的一次函數。

5. 函數圖象性質：當k相同，且b不相等，圖像平行；

當k不同，且b相等，圖象相交於Y軸；

當k互為負倒數時，兩直線垂直。

6. 平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。

1. 作法與圖形：通過如下3個步驟：

（1）列表：每確定自變數x的一個值，求出因變數y的一個值，並列表；

（2）描點：一般取兩個點，根據“兩點確定一條直線”的道理，即在直角坐標系中，以自變數的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。

一般地，y=kx+b（k≠0）的圖象過(0, b)和兩點即可畫出。

正比例函數y=kx（k≠0）的圖象是過坐標原點的一條直線，一般取(0, 0)和(1, k)兩點畫出。

（3）連線：可以作出一次函數的圖象——一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，並連成直線即可。（通常找函數圖象與x軸和y軸的交點分別是與，（0，b））

2. 性質：（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數與y軸交點的坐標總是（0，b)，與x軸總是交於正比例函數的圖象都是過原點。

3. 函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變數之間的關係。

4. k，b與函數圖象所在象限：

y=kx時（即b等於0，y與x成正比，此時的圖象是一條經過原點的直線)

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b（k,b為常數，k≠0）時：

當 k>0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，三象限；

當 k>0,b<0, 這時此函數的圖象經過一，三，四象限；

當 k<0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，四象限；

當 k<0,b<0, 這時此函數的圖象經過二，三，四象限。

當b>0時，直線必通過一、二象限；

當b<0時，直線必通過三、四象限。

特別地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k<0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。

5. 特殊位置關係

當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中K值（即一次項係數）相等。

當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為負倒數。

6. 直線y=kx+b的圖象和性質與k、b的關係如下表所示：

k>0,b>0：經過第一、二、三象限

k>0,b<0：經過第一、三、四象限

k>0,b=0：經過第一、三象限（經過原點）

結論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。

k<0,b>0：經過第一、二、四象限

k<0,b<0：經過第二、三、四象限

k<0,b=0：經過第二、四象限（經過原點）

結論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小。

7. 將函數向上平移n格，函數解析式為y=kx+b+n，將函數向下平移n格，函數解析式為y=kx+b-n，將函數向左平移n格，函數解析式為y=k(x+n)+b，將函數向右平移n格，函數解析式為y=k(x-n)+b。

當平面直角坐標系中兩直線平行時，其函數解析式中k的值（即一次項係數）相等；

當平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中k的值互為相反數。

關於平面直角坐標系中兩直線垂直時，其函數解析式中K值互為相反數的證明：

如圖，這2個函數互相垂直，但若直接證明，存在困難，不易理解，如果平移平面直角坐標系，使這2個函數的交點交於原點，就會更簡單。就像這一樣，可以設這2個函數的表達式分別為；

y=ax, y=bx。

在x正半軸上取一點（z,0)（便於計算），做與y軸平行的直線，如圖，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得：

又有，得

(因為b小於0，故為az-bz）

化簡得：

ab=-1

即k=-1

所以兩個K值的乘積為-1。

注意：與y軸平行的直線沒有函數解析式，與x軸平行的直線的解析式為常函數，故上述性質中這兩種直線除外。

1.要理解函數的意義。

2.聯繫實際對函數圖象的理解。

3.隨圖象理解數字的變化而變化。

1.對一次函數概念理解有誤，漏掉一次項係數不為0這一限制條件；

2.對一次函數圖象和性質存在思維誤區；

3.忽略一次函數自變數取值範圍；(有時x∈Z ,其圖象表現為非連續性的點的集合）

4.對於一次函數中，把自變數認為不能等於零。

1.一次函數和一元一次方程有相似的表達形式。

2.一次函數表示的是一對(x，y)之間的關係，它有無數對解；一元一次方程表示的是未知數x的值，最多只有1個值。

3.一次函數與x軸交點的橫坐標就是相應的一元一次方程的根。

4、以二元一次方程組ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數的圖象相同。

5、二元一次方程組，的解可以看作是兩個一次函數和的圖象的交點。

從函數的角度看，解不等式的方法就是尋求使一次函數y=kx+b的值大於（或小於）0的自變數x的取值範圍的一個過程；

從函數圖像的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合。

對應一次函數y=kx+b，它與x軸交點為 。

當k>0時，不等式kx+b>0的解為：，不等式kx+b<0的解為：；

當k<0的解為：不等式kx+b>0的解為：，不等式kx+b<0的解為： 。

（1）簡單的一次函數問題：①建立函數模型的方法；②分段函數思想的應用。

（2）理清題意是採用分段函數解決問題的關鍵。

1.求函數圖象的k值：，即k=tanα（α為直線與x軸正方向的夾角）

2.求與x軸平行線段的中點：

3.求與y軸平行線段的中點：

4.求任意線段的長度：

5.求兩個一次函數式圖像交點坐標：解兩函數式

兩個一次函數，，令，得。將解得的值代回，兩式的任一式，得到，則即為 y與之交點坐標。

6.求任意2點所連線段的中點坐標：(, )

7.求任意2點的連線的一次函數解析式：（若分母為0，則分子為0）

(x,y)的正負性為 +，+（正，正）時該點在第一象限

(x,y)的正負性為 -，+（負，正）時該點在第二象限

(x,y)的正負性為 - ，-（負，負）時該點在第三象限

(x,y)的正負性為 +，-（正，負）時該點在第四象限

8.若兩條直線，互相平行，則，b1≠b2

9.如兩條直線，互相垂直，則

10.設原直線為y=f(x)=kx+b

y=f(x-n)=k(x-n)+b就是直線向右平移n個單位

y=f(x+n)=k(x+n)+b就是直線向左平移n個單位

y=f(x)+n=kx+b+n就是向上平移n個單位

y=f(x)-n=kx+b-n就是向下平移n個單位

口訣：左加右減相對於X，上加下減相對於b。

11.直線y=kx+b與x軸的交點：，與y軸的交點：(0，b)

1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2.如果水池抽水速度f一定，水池裡水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

3.當彈簧原長度b（未掛重物時的長度）一定時，彈簧掛重物后的長度y是重物重量x的一次函數，即y=kx+b（k為任意正數）。

常見題型一次函數及其圖象是初中代數的重要內容，也是高中解析幾何的基石，更是中考的重點考查內容。

其中求一次函數解析式就是一類常見題型。現以部分中考題為例介紹幾種求一次函數解析式的常見題型。希望對大家的學習有所幫助。

一. 定義型

例1. 已知函數是一次函數，求其解析式。解：由一次函數定義而知

，故一次函數的解析式為y=-6x+3。

注意：利用定義求一次函數y=kx+b解析式時，要保證k≠0。如本例中應保證m-3≠0。

二. 點斜型

例2. 已知一次函數y=kx-3的圖象過點(2, -1)，求這個函數的解析式。

解：一次函數 的圖象過點(2, -1)， ，即k=1。故這個一次函數的解析式為y=x-3。

變式問法：已知一次函數y=kx-3 ，當x=2時，y=-1時，求這個函數的解析式。

三. 兩點型

例3.已知某個一次函數的圖象與x軸、y軸的交點坐標分別是(-2, 0)、(0, 4)，則這個函數的解析式為_____。

解：設一次函數解析式為y=kx+b

由題意得

故這個一次函數的解析式為y=2x+4。

四. 圖像型

例4. 已知某個一次函數的圖象如圖所示，則該函數的解析式為__________。

解：設一次函數解析式為y=kx+b由圖可知一次函數 的圖象過點(1, 0)、(0, 2) 有

所以k=-2，b=2

故這個一次函數的解析式為y=-2x+2。

五. 斜截型

例5. 已知直線y=kx+b與直線y=-2x平行，且在y軸上的截距為2，則直線的解析式為___________。

解析：兩條直線； 。當 ，時，

∴直線y=kx+b與直線y=-2x平行 。又 直線y=kx+b在y軸上的截距為2，故直線的解析式為y=-2x+2或y=-2x-2。

六. 平移型

例6. 把直線y=2x+1向下平移2個單位得到的圖象解析式為___________。

解析：設函數解析式為 y=kx+b，直線y=2x+1向下平移2個單位得到的直線y=kx+b與直線y=2x+1平行

直線y=kx+b在y軸上的截距為 b=1-2=-1，故圖象解析式為。

七. 實際應用型

例7. 某油箱中存油20升，油從管道中勻速流出，流速為0.2升/分鐘，則油箱中剩油量Q（升）與流出時間t（分鐘）的函數關係式為___________。

解：由題意得Q=20-0.2t ，即Q=-0.2t+20

，

故所求函數的解析式為 Q=-0.2t+20（ ）

注意：求實際應用型問題的函數關係式要寫出自變數的取值範圍，別忘了考慮變數存在等於0的情況。

八. 面積型

例8. 已知直線y=kx-4與兩坐標軸所圍成的三角形面積等於4，則直線解析式為__________。

解：易求得直線與x軸交為止為止，所以

，所以|k|=2 ，即

故直線解析式為y=2x-4或y=-2x-4。

九. 對稱型

若直線 與直線y=kx+b關於

（1）x軸對稱，則直線 的解析式為y=-kx-b；

（2）y軸對稱，則直線 的解析式為y=-kx+b；

（3）直線y=x對稱，則直線 的解析式為；

（4）直線y=-x對稱，則直線 的解析式為；

（5）原點對稱，則直線 的解析式為y=kx-b。

例9. 若直線l與直線y=2x-1關於y軸對稱，則直線l的解析式為____________。

解：由（2）得直線l的解析式為y=-2x-1。

十. 開放型

例10. 已知函數的圖象過點A(1, 4)，B(2, 2)兩點，請寫出滿足上述條件的兩個不同的函數解析式，並簡要說明解答過程。

解：

（1）若經過A、B兩點的函數圖象是直線，由兩點式易得y=-2x+6

（2）由於A、B兩點的橫、縱坐標的積都等於4，所以經過A、B兩點的函數圖象還可以是雙曲線

，解析式為。

（3）其它（略）

十一. 幾何型

例11. 如圖，在平面直角坐標系中，A、B是x軸上的兩點，以AO、BO為直徑的半圓分別交AC、BC於E、F兩點，若C點的坐標為(0, 3)。（1）求圖象過A、B、C三點的二次函數的解析式，並求其對稱軸；（2）求圖象過點E、F的一次函數的解析式。

解：（1）由直角三角形的知識易得點、，由待定係數法可求得二次函數解析式為，對稱軸是；

（2）連接OE、OF，過E、F分別作x、y軸的垂線，垂足為M、N、P、G，易求得E 、F ，由待定係數法可求得一次函數解析式為。

十二. 方程型

例12. 若方程的兩根分別為，求經過點P 和Q 的一次函數圖象的解析式

解：由根與係數的關係得，

，

點P(11, 3)、Q(-11, 11)

設過點P、Q的一次函數的解析式為y=kx+b

則有

解得

故這個一次函數的解析式為。

函數和方程

1. 從形式上看：一次函數y=kx+b，一元一次方程ax+b=0 。

2. 從內容上看：一次函數表示的是一對(x, y)之間的關係，它有無數對值；一元一次方程表示的是未知數x的值，最多只有1個值。

3. 相互關係：一次函數與x軸交點的橫坐標就是相應的一元一次方程的根。例如：y=4x+8與x軸的交點是(-2, 0)、則一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。

函數和不等式

解不等式的方法：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=kx+b的值大於（或小於）0的自變數x的取值範圍；

從函數圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合。

對應一次函數y=kx+b，它與x軸交點為。

當k>0時，不等式kx+b>0的解為：，不等式kx+b<0的解為：；

當k<0的解為：不等式kx+b>0的解為：，不等式kx+b<0的解為：。

與二元一次方程的關係

1. 以二元一次方程組ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數的圖象相同。

2. 二元一次方程組, 的解可以看作是兩個一次函數和的圖象的交點。

方法小結

把方程組中的兩個二元一次方程改寫成一次函數的形式，然後作出它們的圖象，找出兩圖像的交點，即可知方程組的解。

區別

二元一次方程有兩個未知數，而一次函數只是說未知數的次數為一次，並未限定幾個變數，因此二元一次方程只是一次函數中的一種。

1. 面直角坐標系中分別描繪出以二元一次方程的解為坐標的點，這些點都在相應的一次函數的圖象上。如方程2x+y=5有無數組值，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以這些解為坐標的點(1, 3)，(2, 1)…都在一次函數y=-2x+5的圖象上。

2. 一次函數圖象上任取一點，它的坐標都適合相應的二元一次方程。如在一次函數y=-x+2的圖象上任取一點(3, -1)，則x=3，y=-1一定是二元一次方程x+y=2的一組解。