二次函數

一般地，把形如（a、b、c是常數）的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。x為自變數，y為因變數。等號右邊自變數的最高次數是2。

函數圖像頂點坐標

交點式為（僅限於與x軸有交點的拋物線），

與x軸的交點坐標是 和。

注意：“變數”不同於“自變數”，不能說“二次函數是指變數的最高次數為二次的多項式函數”。“未知數”只是一個數（具體值未知，但是只取一個值），“變數”可在實數範圍內任意取值。在方程中適用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別，如同函數不等於函數的關係。

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。

據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是：在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的係數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的係數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方（引自婆什迦羅第二）。

對於二次函數的一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），有如下性質：

1.二次函數的圖像是拋物線，但拋物線不一定是二次函數。開口向上或者向下的拋物線才是二次函數。拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）。

2.二次函數圖像有一個頂點P，坐標為P 。當 時，P在y軸上；當 時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小；|a|越小，則拋物線的開口越大。

4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右側。（可巧記為：左同右異）

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於(0, c）。

6.拋物線與x軸交點個數： 時，拋物線與x軸有2個交點。 時，拋物線與x軸有1個交點。當 時，拋物線與x軸沒有交點。

7.當 時，函數在 取得最小值；在 上是減函數，在 上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是 。

當 時，函數在 處取得大值 ；在 上是增函數，在 上是減函數；拋物線的開口向下；函數的值域是 。

當 時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)。

8.定義域：R

9.值域：當a>0時，值域是 ；當a<0時，值域是 。

10.奇偶性：當b=0時，此函數是偶函數；當b不等於0時，此函數是非奇非偶函數。

11.周期性：無

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐標為（h,k)，對稱軸為直線x=h，頂點的位置特徵和圖像的開口方向與函數y=ax²的圖像相同，當x=h時，y最大（小）值=k。有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。

例：已知二次函數y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。

解：設y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：與點在平面直角坐標系中的平移不同，二次函數平移后的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負號就簡單地認為是向左平移。

具體可分為下面幾種情況：

當h>0時，y=a(x-h)²的圖像可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到；

當h<0時，y=a(x-h)²的圖像可由拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位得到；

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖象。

(僅限於與x軸即y=0有交點時的拋物線，即b-4ac≥0)。

已知拋物線與x軸即y=0有交點A(x1, 0)和B(x2, 0)，我們可設，然後把第三點代入x、y中便可求出a。

由一般式變為交點式的步驟：(韋達定理)

重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。

由此可引導出交點式的係數 (y為截距)　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

歐拉交點式：

若ax²+bx+c=0有兩個實根,，則 此拋物線的對稱軸為直線。

方法1：

已知二次函數上三個點，、 、 。把三個點分別代入函數解析式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數)，有：

得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。

方法2：

已知二次函數上三個點， 、 、

利用拉格朗日插值法，可以求出該二次函數的解析式為：

與X軸交點的情況：

當 時，函數圖像與x軸有兩個交點，分別是和 。

當 時，函數圖像與x軸只有一個切點，即。

當 時，拋物線與x軸沒有公共交點。x的取值範圍是虛數（ ）

在平面直角坐標系中作出二次函數y=ax+bx+c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函數圖像是一條永無止境的拋物線。如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函數圖像將是由 平移得到的。

二次函數圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線

對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖象的頂點P。

特別地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。是頂點的橫坐標（即x=0）。

a,b同號，對稱軸在y軸左側；

a,b異號，對稱軸在y軸右側。

二次函數圖像有一個頂點P，坐標為P(h,k)。

當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h)+k（x≠0）

, 。

二次項係數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。當a>0時，二次函數圖象向上開口；當a<0時，二次函數圖像向下開口。|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。

一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是,所以 要大於0，所以a、b要同號

當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是 , 所以 要小於0，所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異，即當對稱軸在y軸左時，a與b同號（即a>0，b>0或a<0，b<0）；當對稱軸在y軸右時，a與b異號（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。

事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖象與y軸的交點處的該二次函數圖像切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

常數項c決定二次函數圖像與y軸交點。

二次函數圖像與y軸交於（0,C）點

注意：頂點坐標為（h,k)，與y軸交於（0,C)。

對於函數y=a(x-h)+k，交點個數如下：

a<0；k>0或a>0；k<0時，二次函數圖像與x軸有2個交點。

k=0時，二次函數圖像與x軸只有1個交點。

質疑點：a<0；k<0或a>0，k>0時，二次函數圖像與x軸無交點。

當a>0時，函數在x=h處取得最小值 ，在xh範圍內是增函數（即y隨x的變大而變大），二次函數圖像的開口向上，函數的值域是y>k

當a<0時，函數在x=h處取得最大值，在xh範圍內是減函數（即y隨x的變大而變小），二次函數圖像的開口向下，函數的值域是y

當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數。

對稱關係

對於一般式：

①y=ax+bx+c與y=ax-bx+c兩圖像關於y軸對稱

②y=ax+bx+c與y=-ax-bx-c兩圖像關於x軸對稱

③y=ax+bx+c與y=-ax+bx+c-b/2a關於頂點對稱

④y=ax+bx+c與y=-ax+bx-c關於原點中心對稱。（即繞原點旋轉180度后得到的圖形）

對於頂點式：

①y=a(x-h)+k與y=a(x+h)+k兩圖像關於y軸對稱，即頂點(h, k)和(-h, k)關於y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。

②y=a(x-h)+k與y=-a(x-h)-k兩圖像關於x軸對稱，即頂點(h, k)和(h, -k)關於x軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。

③y=a(x-h)+k與y=-a(x-h)+k關於頂點對稱，即頂點(h, k)和(h, k)相同，開口方向相反。

④y=a(x-h)+k與y=-a(x+h)-k關於原點對稱，即頂點(h, k)和(-h, -k)關於原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。

（其實①③④就是對f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況）

圖像畫法

---

五點法

五點草圖法又被叫做五點作圖法是二次函數中一種常用的作圖方法。

註明：雖說是草圖，但畫出來絕不是草圖。

五點草圖法中的五個點都是極其重要的五個點，分別為：頂點、與x軸的交點、與y軸的交點及其關於對稱軸的對稱點。

Ps.正規考試也是用這種方法初步確定圖像。但是正規考試的要求在於要列表格，取x、y，再確定總體圖像。五點法是可以用在正規考試中的。

描點法

在初中數學中，要求採用描點法畫出二次函數圖像。

其做法與五點法類似：【以 為例】

1、列表

x	……	-1	-0.5		1	2	2.5	3	……
	……	7	3.5	1	-1	1	3.5	7	……

先取頂點，用虛線畫出對稱軸。取與x軸兩個交點（如果存在）、y軸交點及其對稱點（如果存在）和另外兩點及其對稱點。

Ps.原則上相鄰x的差值相等，但遠離頂點的點可以適當減小差值

2、依據表格數據繪製函數圖像，如圖

方程關係

---

特別地，二次函數（以下稱函數） ,

當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），即

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函數，， ，(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

y=ax² (0，0) x=0

y=ax²+K (0，K) x=0

y=a(x-h)² (h，0) x=h

y=a(x-h)²+k (h，k) x=h

y=ax²+bx+c ，

當h>0時，的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。

當h>0,k>0時，將拋物線向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h>0,k>0）的圖象

當h>0,k<0時，將拋物線向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x-h)²+k（h>0,k<0）的圖象

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k>0）的圖象

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x+h)²+k（h<0,k<0）的圖象

在向上或向下。向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。

因此，研究拋物線 (a≠0)的圖像，通過配方，將一般式化為 的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖像提供了方便。

2．拋物線 (a≠0)的圖像：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線，頂點坐標是 。

3．拋物線 (a≠0)，若a>0，當 時，y隨x的增大而減小；當 時，y隨x的增大而增大。若a<0，當 時，y隨x的增大而增大；當 時，y隨x的增大而減小。

4．拋物線 的圖像與坐標軸的交點：

(1)圖像與y軸一定相交，交點坐標為(0, c)；

(2)當 時，圖像與x軸交於兩點和，其中的,是一元二次方程 (a≠0)的兩根．這兩點之間的距離 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由（A為其中一點的橫坐標的兩倍）

當 時，圖像與x軸只有一個切點；

當 時，圖像與x軸沒沒有共。當a>0時，圖像落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖像落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0。

5．拋物線 的最值：如果a>0，則當 時， ；如果a<0，則當 時， 。

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變數值，頂點的縱坐標，是最值的取值。

6．用待定係數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式（表達式）為一般形式：

徠(2)當題給條件為已知圖像的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：(a≠0)。

(3)當題給條件為已知圖像與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：(a≠0)。

學習方法

---

知識要點

1.要理解函數的意義。

2.要記住函數的幾個表達形式，注意區分。

3.一般式，頂點式，交點式，等，區分對稱軸，頂點，圖像，y隨著x的增大而減小（增大）(增減值）等的差異性。

4.聯繫實際對函數圖象的理解。

5.計算時，看圖像時切記取值範圍。

6.隨圖象理解數字的變化而變化。二次函數考點及例題

二次函數知識很容易與其他知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現。

誤區提醒

（1）對二次函數概念理解有誤，漏掉二次項係數不為0這一限制條件；

（2）對二次函數圖像和性質存在思維誤區；

（3）忽略二次函數自變數取值範圍；

（4）平移拋物線時，弄反方向。

定義與表達式

一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：

y=ax²+bx+c

（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.）

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

三種表達式

一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)²+k[拋物線的頂點P(h, k)]

交點式： [僅限於與x軸有交點 和 的拋物線]

註：在3種形式的互相轉化中，有如下關係：，，

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂

點P，坐標為

當 時，P在y軸上；當 時，P在x軸上。

3.二次項係數a決定拋物線的開口方向，|a|決定拋物線開口大小。

當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項係數b和二次項係數a有1個交點。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於（0，c）

拋物線與x軸

交點個數

A=b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

A=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

A=b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。

係數表達的意義

a.決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。

b.和a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。

c.決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於（0,c）